[名校联盟]甘肃省金昌市第一中学高中数学选修1-1学案：第三章 导数及其应用（7份）

了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。 2、  过程与方法 通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 3、  情感、态度与价值观 通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。 教学重难点 重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。 难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系 教学过程 一、 复习引入： 1. 常见函数的导数公式： ； ； ； 2.法则1 　 ． 法则2 , 法则3 [来源:学§科§网Z§X§X§K] 二、 讲授新课 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数 的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函数．相应地， ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数．相应地， ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率． 在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增； 在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系[来源:Z#xx#k.Com] 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数． 3．求解函数 单调区间的步骤： （1）确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．已知导函数 的下列信息： 当 时， ； 当 ，或 时， ； 当 ，或 时， 试画出函数 图像的大致形状． 解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增；[来源:学.科.网Z.X.X.K] 当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减； 当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数 图像的大致形状如图3.3-4所示．[来源:学科网] 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） ； （2） （3） ； （4） 解：（1）因为 ，所以， 因此， 在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为 ，所以， 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减； 函数 的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为 ，所以， 因此，函数 在 单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为 ，所以 ． 当 ，即 时，函数 ；[来源:Zxxk.Com] 当 ，即 时，函数 ； 函数 的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像． [来源:Zxxk.Com] 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数 在 或 内的图像“陡峭”， 在 或 内的图像“平缓”．[来源:学&科&网] 例4．求证：函数 在区间 内是减函数． 证明：因为 当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数． 说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤： （1）求导函数 ； （2）判断 在 内的符号； （3）做出结论： 为增函数， 为减函数． 例5．已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 ． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常