第05课 根与系数的关系-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第05课 根与系数的关系 目标导航 课程标准 1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能力． 知识精讲 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 方程的根与系数的关系 数学语言 设的两个根为，则 文字语言 一元二次方程的两个根的和等于 , 两个根的积等于 使用条件 (1)方程是一元二次方程,即二次项系数 ; (2)方程 ,即 重要推论 设一元二次方程的两根为， 则 常见变形 【注意】 （1）利用一元二次方程的根与系数的关系进一步讨论根的符号 设一元二次方程( a≠0)的两根为,则 两个正数根 两个负数根 两根异号且正根的绝对值较大 两根异号且负根的绝对值较大 （2）利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的两点注意 ①一元二次方程必须有两个实数根(△≥0). ②中的负号与方程中a ,b 的符号不要混淆. 能力拓展 考法01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根 【例题1】已知关于x的方程有一个根是,求另一个根. 【方法总结】 已知一元二次方程的一个根,求另一个根的方法 (1)方法1(利用根与系数的关系):当方程的二次项系数、一次项系数已知,常数项未知时,利用两根的和求另一个根;当方程的二次项系数、常数项已知,一次项系数未知时,利用两根的积求另一个根. (2)方法2(利用根的定义):先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项,再解方程求另一个根. 考法02 利用根与系数的关系求某些代数式的值 【例题2】若方程的两根为，则= ； 【方法总结】 巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值 第一步：算 计算出 的值 第二步：变 将所求的代数式变形为用表示的式子 第三步：代 代入所求的代数式计算 考法03 利用根与系数的关系确定待定字母的值 【例题3】已知关于x的一元二次方程 有两个不等实根. （1）求实数k的取值范围; （2）若方程两实根满足，求k的值. 【方法总结】 利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时,千万不要忘记将系数代回验证△≥0,因为根与系数的关系是在一元二次方程中△≥0的前提下使用的. 考法04 已知两数的和与积,构造一元二次方程解决问题 【例题4】已知两个数的和是8,积为15,求这两个数. 分层提分 题组A 基础过关练 1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　） A． B．- C．- D． 2．设是一元二次方程的两根，则_______________________． 3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______． 4．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是_____，x1+x2的值是_____． 5．已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 6．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．    （1）； ． 7．已知关于的方程 （1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？ （2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值． 题组B 能力提升练 1．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为(          ) A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 2．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a=_________. 3．一元二次方程的两根为和，则________． 4．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____． 5．已知关于x的一元二次方程． （1）请判断该方程实数根的情况； （2）若原方程的两