2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目标导航 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系. 2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义. 5.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题． 知识解读 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 【答案】未知数 2 知识点二　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【答案】ax2＋bx＋c＝0 知识点三　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 【答案】{x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点四　简单的分式不等式的解法 分式不等式的解法： 知识点五　一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点六　利用不等式解决实际问题的一般步骤 1．选取合适的字母表示题目中的未知数． 2．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． 3．求解所列出的不等式(组)． 4．结合题目的实际意义确定答案． 跟踪训练 一、单选题 1．下列不等式的解集为的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A、D：利用配方法对配方后即可判断；对于B：取特殊值否定结论；对于C：取特殊值否定结论. 【详解】恒成立， 所以不等式的解集为R，故A不正确，D正确． 对于B：当时，.故B不正确； 对于C：当时，.故C不正确. 故选：D． 2．已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（       ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状. 【详解】方程有两个相等的实数根，则， 又有， 或，又，故是等腰三角形. 故选：A 3．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（       ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解. 【详解】由题意得，即， 所以即，解得． 故选：B 4．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案. 【详解】解：当时，恒成立，符合题意； 当时，由题意有，解得， 综上，. 故选：B. 5．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数开口向上，且判别式小于0计算即可 【详解】由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则 ，即，解得 故选：B 6．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围. 【详解】的图象都在轴上方， ①时，k＝－5或k＝1， k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件； k＝1时，y＝3满足条件； 故k＝1； ②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数， 则，解得； 综上，. 故选：A. 7．已知不等式的解集是，则的值为（       ）． A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解集是，利用方程的根与系数的关系求解. 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以， 解得， 所以， 故选：C． 8．