2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 目标导航 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 3.熟练掌握基本不等式及变形的应用. 4.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 知识解读 知识点一　基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 【答案】≤ a＝b 知识点二　用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是 ． (2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 ； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 . (3)讨论等号成立的条件是否满足． 【答案】正数 2 S2 跟踪训练 一、单选题 1．已知为实数，且，则下列命题错误的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断 【详解】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确， 故选：C 2．小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形的长、宽分别为x，y，篱笆的长为l，则，且，然后利用基本不等式可求得答案 【详解】设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且， 则，当且仅当(m)，符合题意， 即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为， 故选：C． 3．下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D； 【详解】解：对于A：若、时，故A错误；对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误；对于C：若、时，，故C错误；对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确；故选：D 4．已知，且，则的最小值是（       ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求解. 【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 5．已知 x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，再展开化简，根据基本不等式求最小值即可 【详解】由题，，当且仅当，即，即时取等号；故选：C 6．已知，，且，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：由题意得， 所以 （当且仅当，即，时，等号成立）， 所以. 由推得出，由推不出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．若实数，，满足，以下选项中正确的有（       ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D. 【详解】实数，，， 整理得，当且仅当时取，故选项A错误； (， 当且仅当时取，故选项B错误； ，， ，当且仅当时取， 但已知,故不等式中的等号取不到， ，故选项C错误； ， ， ，当且仅当时取，故选项D正确， 故选：D 8．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解． 【详解】，，若不等式恒成立， 恒成立 ， 当且仅当时取等号． ，即的最大值为． 故选：B． 二、多选题 9．下列不等式中正确的有（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用基本不等式可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，