2.1 等式性质与不等式性质-2022-2023学年高一数学教材同步精品学案（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式性质与不等式性质 目标导航 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小． 3.了解等式的性质. 4.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题． 知识解读 知识点一　基本事实 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔ . a＝b⇔ . a<b⇔ . 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 【答案】a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 知识点二　重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 【答案】≥ 知识点三　等式的基本性质 1．如果a＝b，那么 . 2．如果a＝b，b＝c，那么 . 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c. 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝. 【答案】b＝a a＝c 知识点四　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ a>b，c<0⇒ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N，n≥2) 同正 【答案】< > ac>bc ac<bc a＋c>b＋d > 跟踪训练 一、单选题 1．若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质判断．可举反例说明不等式不成立． 【详解】， 时，仍然有，A错； 时，，B错； ，C正确； 时，，D错． 故选：C． 2．若，则下列不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质判断即可． 【详解】解：令，，满足，但不满足，故A错误； ，，故B错误； ，，，，，故C正确； ，，故D错误． 故选：C． 3．若，则下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【答案】C 【分析】对于AB，举例判断，对于CD，利用不等式的性质判断 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，因为，所以由不等式的性质可得，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以，即，所以D错误， 故选：C 4．已知，，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案. 【详解】， 因为，所以， 又，所以，即. 故选：B 5．若，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断 【详解】对于A，，因为，故，即，故A错； 对于B，不确定符号，取则，故B错误； 对于C， ，因为， 故，即，故C正确； 对于D，，因为， 故，即，故D错误． 故选：C 6．设，则下列命题正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用反例可知AD错误；利用作差法和不等式的性质可判断BC正误. 【详解】对于A，当，时，，A错误； 对于B，若，则，，B错误； 对于C，若，则，，C正确； 对于D，当，时，，，则，D错误. 故选：C. 7．下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若a，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【分析】结合特殊值、差比较法确定正确选项. 【详解】A：令，；，，则，，不满足，故A错误； B：a，b异号时，不等式不成立，故B错误；C：，，，，即，故C正确；D：令，，不成立，故D错误.故选：C 8．已知正实数，满足，则（       ） A． B． C． D．，大小不确定 【答案】B 【分析】根据原不等式，利用，为正实数，可对不等式坐标进行平方差公式化简，然后对比不等式两边，判断符号即可完成求解. 【详解】，为正实数，，而， 可化为，若，则，两边同除，变为，不成立，所以排除A；若，则，两边同除，变为，成立，故排除D选项，B选项正确；若，则原不等式化为，不成立，排除C. 二、多选题 9．已知，则下列选项正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接推导否定选项AC，直接推导证明选项BD正确. 【详解】选项A：由，可得.判断错误； 选项B：由，可得，