第02讲 矩形的性质与判定-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第2讲 矩形的性质与判定 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解矩形的概念，知道它与平行四边形之间的关系； 2.掌握矩形的性质和判定定理，并能熟练地运用其解决问题； 3.掌握并能运用直角三角形斜边上的中线的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 ( 知识精讲 ) 知识点01 矩形的概念 定义：有一个内角是 的平行四边形叫做矩形。 注意：矩形的定义的两个要素 ①是平行四边形。 ②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。 知识点02 矩形的性质 矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。 1．矩形的性质定理 （1）定理1：矩形的四个角都是 。 （2）定理2：矩形的对角线 。 归纳：矩形的角、边、对角线的性质 （1）角：各角相等，均为90°。 （2）边：矩形的对边平行且相等，领边互相垂直。 （3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等。 2．矩形的对称性 （1）矩形是轴对称图形，他有 对称轴，分别是过每一组对边中点的直线，它们互相垂直。 （2）矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的 。 知识点03 直角三角形斜边上的中线的性质 性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 注意： （1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用。 （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半。 （3）性质定理可以用来解决有关线段倍分的问题。 知识点04 矩形的判定 （1）定义法：有一个角是 的平行四边形叫做矩形。 （2）定理1：对角线 的平行四边形是矩形。 （3）定理2：有三个角是 的四边形是矩形。 注意： 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形。 ( 能力拓展 ) 考法01 矩形的性质 【典例1】如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（　　） A．2 B． C． D． 【即学即练】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点E，EF⊥BD于点F，则OE＋EF的值为（　　） A． B．2 C． D．2 【典例2】如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小为　 　（度）． 【即学即练】如图，矩形中，，，以点为中心，将矩形旋转得到矩形，使得点落在边上，则的度数为　 　． 考法02 矩形的判定 【典例3】如图所示，四边形ABCD的对角线为AC，BD，且 ，则下列条件能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A． B．AC，BD互相平分 C． D． 【即学即练】如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， .若要使四边形 为矩形，则可以添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【典例4】如图，在平行四边形 中， 交 于O，试添加一个条件使四边形 成为矩形．你添加的条件是　 　．（只填一个即可） 【即学即练】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件　 　，使四边形BEFD为矩形.（填一个即可） 考法03 直角三角形斜边上的中线的性质 【典例5】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 【即学即练】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（　　） A．13cm B．12cm C．10cm D．8cm ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．在下列条件中，能够判定为矩形的是（　　） A． B． C． D． 2．有下列四个条件：①对角线互相平分的四边形；②对角线互相垂直的四边形；③对角线相等的平行四边形；④有一个角是直角的平行四边形，其中能作为矩形的判定条件的是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 3．有一个矩形，它的相邻两边长分别为1和2，则它的对角线长为（　　） A． B． C．3 D．2 4．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点D处，已知 ，