4.5.3 函数模型的应用-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

函数模型的应用 1 各种函数的增速 (1)一次函数的增长速度 一次函数在区间上是增函数，其增长的速度不变，越大，其增长得越快． 当时，越大，其增长得越快． 比如比增长得快. (2) 幂函数的增长速度 幂函数在区间上是增函数，其增长速度较快，指数越大，增长速度越快． 如比的增长速度更快.当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。 (3) 对数函数的增长速度 对数函数在区间上是增函数，其增长的速度较慢，随着的增大，的图象类似于与轴平行一样，如图所示． 其底数越小，增长的速度越快．科网] 如比的增长速度更快.当时，的函数值比大；当时，的函数值比小，并且越来越小。 (4) 指数函数的增长速度 指数函数在区间上是增函数，其增长速度最快． 其底数越大，增长的速度越快． 如比的增长速度更快。当时，的函数值比小；当时，的函数值比大，并且越来越大。 (5) 几类不同增长的函数模型的比较 (1)指数函数、对数函数、幂函数的增长趋势比较 在区间的单调性 增函数 增函数 增函数 增长速度 先慢后快 先快后慢 相对平稳 图象变化 随的增大逐渐加快增大 随的增大逐渐减慢增大 随的不同而不同 如， 三个函数在上都是增函数，但它们的增速不一样， 我们列表看看， 在同一坐标系内，作出函数图象，如下图， 由图和表，易知对数函数增长得很慢，指数函数增长得很快，比幂函数更快.而当时，的函数值有些比小；当时，的函数值比大，且相差越来越大. 综上所述，在区间上，尽管函数和都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢，总会存在一个，当，就有． 【例】当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A． B． C． D． 解 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当越来越大时，函数增长速度最快．故选. 2 函数模型 (1)函数模型 一次函数 二次函数 指数函数 指数型函数 对数函数 对数型函数 幂函数 幂函数型 (2)函数模型解决实际问题 通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下： 第一步：收集数据． 第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图． 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． 第四步：选择其中的几组数据求出函数模型． 第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步．第六步：用求得的函数模型去解释实际问题． 【题型1】不同函数模型的认识 【典题1】 某市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示： 用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) ． 【解析】方法 由表可知：是关于的增函数；且增幅随的增大而增大，故只有满足要求．故选． 方法 作出散点图，如图， 由函数拟合可知只有满足要求．故选． 方法 由表可知：是关于的增函数；故不适合； 对于：，，；故不接近； 对于：， ，．故接近； 对于： ，故不接近． 故选． 【点拨】 判断最佳函数模型，方法如下 ① 根据数据的增减性和增幅，排除不符合的函数； ② 根据表格描点做出散点图，结合常见函数模型进行判断； ③ 代点法，把数值代入函数中，若数值偏离较远则排除. 【巩固练习】 1.试探究下列三个函数，当足够大后，其增长速度最快的是　 　． ① ② ③． 答案 ③ 解析 当足够大时，函数，是幂函数，其增长速度相比较不是最快的； 函数，是对数函数，其增长速度相比较是最慢的； 函数，是指数函数，且底数大于，其增长速度相比较是最快的． 故答案为：③． 2.在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： 则，的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中为待定系数)(　　) A． B． C． D． 答案 解析 散点图如图所示： 由散点图可知，此函数图象不是直线，排除选项；此函数图象是“上升”的， 因此该函数为增函数，排除选项，故选择． 3.某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数(正常情况，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资元