4.5.2 用二分法求方程的近似解-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

用二分法求方程的近似解 1二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 解释 求，的零点很容易，因为我们会求其方程的解，而函数或的零点怎么求呢？我们求不出来会退而求其次，能否能知道零点的近似值呢？应该会想到函数零点存在性定理，没错这它就是二分法的理论基础. 【例】 下列函数中，你会用二分法求其零点的是（ ） A. B. C. D. 解析 很容易通过解方程得到其零点，而根本没零点，项无法通过方程求解，可用二分法求解，故选. 2用二分法求方程近似解的步骤 确定区间，验证，给定精确度； 求区间的中点 计算， 若则就是函数的零点； 若，则令(此时零点 若，则令(此时零点) 判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值为(或)；否则重复 解释 （1）使用二分法的前提是函数在所选定的区间上的图象是连续不断的，且； （2）所选的区间的范围尽量小，且,比较容易求; (3)利用二分法时，满足精确度便可停止计算. 【例】用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得的一个零点的近似值(精确度为__________． 解析：由参考数据知，，即，且，函数的一个零点的近似值可取为． 答案：1.562 5(答案不唯一) 【典题1】 求方程的近似解(精确度)． 解析 如图所示，由函数与的图象可知，方程有唯一实数解，且在区间内． 设，用计算器计算，列表如下： 取值区间 中点值 中点函数近似值 区间长度 由于区间的长度为，此时该区间中点与真正零点的误差不超过，所以函数f(x)的零点近似值为，即方程的近似解为． 【典题2】某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，年平均每台电脑生产成本为元，并以纯利润标定出厂价．从年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，年平均每台种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是年出厂价的，但却实现了纯利润的高效益． (1)求2012年每台电脑的生产成本； (2)以2008年的生产成本为基数，用二分法求2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到． 解析 (1)设2012年每台电脑的生产成本为元，根据题意，得，解得(元)． 故2012年每台电脑的生产成本为元． (2)设2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得，令，作出，的对应值表： 观察上表，可知，说明此函数在区间内有零点． 取区间的中点，可得． 因为， 所以． 再取区间的中点，可得． 因为， 所以． 同理可得，，，， ， 由于，此时区间的两个端点精确到的近似值都是，所以原方程的近似解为． 故2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为． 【巩固练习】 1.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，，可得其中一个零点__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为(　　) A．， B．， C．， D．， 答案 解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由，知， 再计算与的中点处相应的函数值，以判断的更准确位置． 2.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是　　 A． B． C． D． 答案 解析 第一次所取的区间是， 第二次所取的区间可能为，， 第三次所取的区间可能为． 故选：． 3.若函数的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下： 那么方程0的一个近似根(精确度)为(　　) 答案 解析 因为函数在定义域上时连续的， 又根据表格中数据可知，， 则由函数零点判定定理可知方程的一个根在上，精确后得， 故选：． 4.用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为时，所需二分区间的次数最少为(　　) 答案 解析 根据题意，原来区间区间的长度等于，每经过二分法的一次操作，区间长度变为 原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为， 若，即；故选：． 5.求方程的近似解(精确到)． 答案 解析 使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数的图象， 利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间． 如图所示，由函数与的图象，可以发现，方程有唯一解，记为，并且这个解在区间内，设，用计算器计算，得 ， ，， ， ． 因为与精确到的近似值都为，所以原方程的近似解为． 6.某企业现有资产亿，计划平均每年增长，问要使资产达到亿，需几年？(列出方程，利用二分法求解，结果取整数) 答案 解析 设需要年，由题意得： 即有 令