专题1.1 集合-重难点题型精讲-2023年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）

专题1.1 集合-重难点题型精讲 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合的基本关系 (1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B； (2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B； (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B； (4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法 交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x∉A} ∁UA 【注意】 1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集． 提示　2n，2n－1. 2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？ 提示　A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 【题型1 求集合中元素的个数】 【方法点拨】 ①确定集合中的元素是什么，是数、点还是其他； ②看这些元素满足什么限制条件； ③根据条件确定集合中的元素个数或利用数形结合思想求解，但要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【例1】（2020秋•顺德区期中）已知集合M的非空子集的个数是7，则集合M中的元素的个数是（　　） A．3 B．4 C．2 D．5 【解题思路】若集合M中有n个元素，则集合M的非空子集的个数是2n﹣1． 【解答过程】解：设集合M中有n个元素， ∵集合M的非空子集的个数是7， ∴2n﹣1＝7，解得n＝3， ∴集合M中元素的个数是3． 故选：A． 【变式1-1】（2021•荆州一模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解题思路】先根据题意解出集合A，再根据题意分析B中元素为A中的子集，可求出． 【解答过程】解：因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}， 所以A＝{0，1，2}， 因为B＝{C|C⊆A}， 所以B中的元素为A的子集个数，即B有23＝8个， 故选：C． 【变式1-2】（2021春•保定期末）已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解题思路】根据集合的基本运算进行求解． 【解答过程】解：A＝{x|x＝3n+2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，17，…}， 则A∩B＝{8，14}， 故集合A∩B中元素的个数为2个． 故选：D． 【变式1-3】（2021秋•荆州校级月考）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x≠y，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　） A．3 B．6 C．8 D．10 【解题思路】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数． 【解答过程】解：当x＝0时，y＝1，2，3；满足集合B． 当x＝1时，y＝0，2；满足集合B． 当x＝2时，y＝0，1；满足集合B． 当x＝3时，y＝0．满足集合B． 共有8个元素． 故选：C． 【题型2 子集个数的求解】 【方法点拨】 ①穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况； ②公式法：含有n个元素的集合的子集个数是，真子集的个数是-1，非空真子集的个数是-2. 【例2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（　　） A． B． C．62 D．26 【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个． 【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为， 故选：B． 【变式2-1】（2022•齐齐哈尔二模）设集合M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}，则集合M的真子集个数为（　　） A．16 B．15 C．8 D．7 【解题思路】化简集合M，利用公式求真子集个数即可． 【解答过程】解：M＝{x∈Z||2﹣x|＜2}＝{1，2，3}， 故集合M的真子集个数为23﹣1＝7， 故选：D． 【变式2-2】（2022春•河南月考）设集合A＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣5）≤0}，则集合A的子集个数为（　　） A．16 B．32 C．15 D．31 【解题思路】先求出集合A，由此能求出集合A的子集的个数． 【解答过程】解