3.1.1 函数的概念-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)

3.1.1 函数的概念 一、函数的定义及概念概念 1、函数的定义：设A，B是两个非空数集， 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x， 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应， 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A 【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。 （1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集； （2）任意性：A中任意一个数都要考虑到； （3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应； （4）方向性：A→B 2、函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域． （3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3、同一个函数 两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数。 二、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 三、求函数的定义域的依据 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零. 2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中 奇次方根的被开方数取全体实数，即中，. 3、零次幂的底数不能为零，即中. 4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。 【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。 题型一 函数定义的理解 【例1】下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是（ ） A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和面积 C．正n边形的边数和内角和 D．母亲的身高与子女的身高 【答案】D 【解析】A中的任意一个角总对应唯一的一个余弦值，是函数关系； B中任意一个正方形的边长总对应唯一的一个面积，是函数关系； C中任意的正边形边数总对应唯一的顶点角度之和，是函数关系； D中母亲的身高与子女的身高也不是一一对应的关系，故而不是函数关系。 【变式1-1】已知是集合A到集合B的函数，如果集合，那么集合A不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若集合，则，但，故选：C. 【变式1-2】下列图形中，不可作为函数y＝f(x)图象的是( ) 【答案】C 【解析】选项C中，x＝0时，有2个y值与之对应，不满足函数概念，故选C． 【变式1-3】若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 B 【解析】A中函数的定义域不是[－2，2]， C中图象不表示函数，D中函数值域不是[0，2]，故选B. 【变式1-4】下列对应中： （1），其中，； （2），其中，，； （3），其中y为不大于x的最大整数，，； （4），其中，，. 其中，是函数的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】B 【解析】（1），其中，； 满足函数的定义，（1）正确； （2），其中，，， 不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应， 例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确； （3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确； （4），其中，，， 当时，对应的，（4）不正确． 题型二 求函数的定义域 【例2】已知函数与x的值对应如下表， x 1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 那么函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：函数的定义域为.故选：A. 【变式2-1】函数的定义域为（ ）