1.2 空间向量基本定理（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理（分层作业） （夯实基础+能力提升） 【夯实基础】 一、单选题 1．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理进行计算. 【详解】. 故选：A 2．（2022·全国·高二）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则和空间向量基本定理相关知识求解即可. 【详解】由题意得，. 故选：D 3．（2022·全国·高二）已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ） A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线 C．与共线 D．O，A，B，C四点共面 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理即可判断 【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面 故选：D 4．（2022·江苏·高二课时练习）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　 A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，从而判断出结论． 【详解】解：由题意和空间向量的共面定理， 结合， 得与、是共面向量， 同理与、是共面向量， 所以与不能与、构成空间的一个基底； 又与和不共面， 所以与、构成空间的一个基底． 故选：． 5．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱中，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以A错误 因为，所以， 所以 , 故选：D 6．（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可 【详解】 ， 其中 为中点，有 ，故可知 ， 则知 为 的中点，故点 满足 ， ． 故选：A 7．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量． 【详解】 即 故选：D． 二、多选题 8．（2022·全国·高二）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，，共面； 对于B，因为，故，，共面； 对于D，因为，故，，共面； 对于C，若，，共面，则存在实数，使得：， ，故共面， 这与构成空间的一个基底矛盾， 故选：ABD 9．（2022·江苏南通·高二期末）已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（       ） A．若，，则 B．若，，两两共面，则，，共面 C．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得 D．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 【答案】AD 【详解】根据空间向量共面的判定定理及空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答】解：，，是空间的三个单位向量， 由，，则，故A正确； ，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误； 由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误； 若 是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确． 故选：AD. 10．（2022·福建·上杭县第二中学高二阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（       ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知向量是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】ABC 【分析】对于A，根据共线向量的概念理解判断；对于B：根据且P，A，B，C四点共面，分析判断；对于C：基底向量的定义是空间的一个基底不共面，分析判断；对于D：根据数量积的定义可得，结合向量夹角的范围分析判断． 【详解】对于A，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线， 则这三个向量一定共面，所以A正确； 对于B，若对空间中任意一点O，有因为， 根据空间向量的基本定理，可得P，A，B，C四点一定共面，所以B正确； 对于C，由于是空间的一个基底，