专题11.5 多边形的内角与外角（重点题专项讲练）-2022-2023学年八年级数学上册从重点到压轴（人教版）

专题11.5 多边形的内角与外角 【典例1】（1）已知：如图，n边形A1A2A3A4A5…An．求证：n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于（n﹣2）•180°； （2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和； （3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°．请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数． 【思路点拨】 （1）根据从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线要和多边形的两边组成三角形，得出把三角形分割成的三角形个数．欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用三角形内角和等于180°解答； （2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°，根据题意列出方程可得答案； （3）根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解． 【解题过程】 解：（1）∵从n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线， ∴得出把三角形分割成的三角形个数为：n﹣3+1＝n﹣2， ∵这（n﹣2）个三角形的内角和都等于180°， ∴n边形的内角和是（n﹣2）×180°； （2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α+20）°， 由题意，得（3α+20）+α＝180， 解得α＝40， 即多边形的每个外角为40°， ∵多边形的外角和为360°， ∴多边形的边数为360°÷40°＝9， 内角和为（9﹣2）×180°＝1260°， 答：这个多边形的内角和为1260°； （3）设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则 （n﹣2）•180°＝1180°﹣α， ∵1180°＝6×180°+100°，内角和应是180°的倍数， ∴小明多加的一个外角为100°， ∴这是6+2＝8边形的内角和． 答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8． 1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（　　） A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形 【思路点拨】 设这个多边形为n边形，根据多边形的内角和公式及外角和定理即可求解． 【解题过程】 解：设这个多边形为n边形，它的外角分别为x1，x2，⋯，xn，则对应的内角分别为4x1+30°，4x2+30°，⋯，4xn+30°， 根据题意得，x1+x2+⋯+xn＝360°， （4x1+30°）+（4x2+30°）+⋯+（4xn+30°）＝（n﹣2）×180°， ∴4×（x1+x2+⋯+xn）+30°n＝（n﹣2）×180°， ∴4×360°+30°n＝（n﹣2）×180°， ∴1440°+30°n＝180°n﹣360°， ∴150°n＝1800°， ∴n＝12， 故选：C． 2．（2021秋•龙山县期末）从九边形的一个顶点出发，可以作①条对角线，它们将九边形分成②个三角形．对于符号①、②表示的数字正确的是（　　） A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7 【思路点拨】 根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，进而得出这（n﹣3）条对角线把多边形分成的三角形的个数． 【解题过程】 解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形． 故选：A． 3．（2021春•东坡区期末）某校新建的科技馆准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（　　） A．正方形和正六边形 B．正三角形和正六边形 C．正五边形和正八边形 D．正方形和正十边形 【思路点拨】 正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【解题过程】 解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满； C、正五边形和正八边形内角分别为108°、035°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满． D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满； 故选：B． 4．（2021秋•桓台县期末）如图，桐桐从A点出发，前进3m到点B处后向右转20°，再前进3m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，她第一次回到出发点A时，一共走了（　　） A．100m B．90m C．54m D．60m 【思路点拨】 根据多边形的外角和及每一个外