高效作业（十八）等比数列-【优化探究】2022高二数学暑假高效作业（新教材版 北师大版）

(２)由(１)知a１＝３,数列{an}的公差d＝１, 所以数列{an}的通项公式为an＝３＋(n－１)×１＝n＋２． 高效作业(十八) 知识乐园 １．(１)q　(２)ab　３．(１)a２k　(３)qk 演练天地 １．ACD　A中,{a２n}是以a２１ 为首项,q２ 为公比的等比数列,故 A正确;B中,当数列{an}的公比为－１时,an＋an＋１＝０,而等 比数列各项均不为０,故B错误;C中, １an{ } 是以 １ a１ 为首项, １ q 为公比的等比数列,故 C正确;D 中,{an􀅰an＋１}是以a２１q 为首项,q２ 为公比的等比数列,故 D正确． ２．C　由题意,得 a１＋２a１q＝３, (a１q２)２＝４a１q􀅰a１q５,{ 解得 a１＝ ３ ２ , q＝１２ , ì î í ï ï ïï 所以a４＝a１q３＝ ３ ２× １ ２( ) ３ ＝３１６． ３．C　因为a３＋４S２＝０,所以a１q２＋４a１＋４a１q＝０,因为a１≠０, 所以q２＋４q＋４＝０,所以q＝－２． ４．C　因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以a１a２a３, a４a５a６,a７a８a９,a１０a１１a１２,􀆺 也 成 等 比 数 列．不 妨 令 b１ ＝ a１a２a３,b２＝a４a５a６,则 公 比q＝ b２ b１ ＝１２４ ＝３． 所 以bm ＝４× ３m－１．令bm＝３２４,即４×３m－１＝３２４, 解得m＝５,所以b５＝３２４,即a１３a１４a１５＝３２４．所以n＝１４． ５．B　设等比数列{an}的公比为q,因为a３,a１５是方程x２＋６x＋ ２＝０的两根,所以a３􀅰a１５＝a２９＝２,a３＋a１５＝－６,所以a３＜ ０,a１５＜０,则a９＝－ ２,所以 a２a１６ a９ ＝ a２９ a９ ＝a９＝－ ２． ６．AD　因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a６＝８a３, 所以 a６ a３ ＝q３＝８,解得q＝２,所以 S６ S３ ＝１－q ６ １－q３ ＝１＋q３＝９． ７．解析:设等比数列{an}的公比为q(q＞０), 由a５＝a１q４＝１６,a１＝１,得１６＝q４,解得q＝２, 所以S７＝ a１(１－q７) １－q ＝ １×(１－２７) １－２ ＝１２７． 答案:１２７ ８．解析:因为 S１０ S５ ＝３１３２ ,所以S１０－S５ S５ ＝－ １３２ ,因为S５,S１０－S５, S１５－S１０成等比数列,且公比为q５,所以q５＝－ １ ３２ ,q＝－１２ , 则an＝－１× － １ ２( ) n－１ ＝－ －１２( ) n－１ ． 答案:－ －１２( ) n－１ ９．解析:由a２＝２,a１＋a３＝５,{an}是递减的等比数列,得a１＝ ４,a３＝１,an＝４× １ ２( ) n－１ ,则a１a２＋a２a３＋􀆺＋anan＋１是首 项为８、公比为１４ 的等比数列的前n项和．故a１a２＋a２a３＋􀆺 ＋anan＋１＝８＋２＋ １ ２＋ 􀆺＋８× １４( ) n－１ ＝ ８× １－ １４( ) n [ ] １－１４ ＝３２３× １－ １ ４( ) n [ ]． 答案:an＝４× １ ２( ) n－１ 　３２３× １－ １ ４( ) n [ ] １０．解析:由a１＝１,an＋１＋(－１)nan＝cos[(n＋１)π],得a２＝a１ ＋cos２π＝１＋１＝２,a３＝－a２＋cos３π＝－２－１＝－３,a４＝ a３＋cos４π＝－３＋１＝－２,a５＝－a４＋cos５π＝２－１＝１,􀆺 由此可知,数列{an}是以４为周期的周期数列,且a１＋a２＋ a３＋a４＝－２,所以S２０２０＝５０５(a１＋a２＋a３＋a４)＝５０５× (－２)＝－１０１０． 答案:－１０１０ １１．解析:(１)由题可知a３＋１＝８,a７＋１＝１２８, 则有(a５＋１)２＝(a３＋１)(a７＋１)＝８×１２８＝１０２４, 可得a５＋１＝３２,即a５＝３１． (２)设数列{an＋１}的公比为q, 由(１)知 a３＋１＝(a１＋１)q２, a５＋１＝(a１＋１)q４,{ 得 a１＋１＝２, q＝２,{ 所以数列{an＋１}是一个以２为首项,２为公比的等比数列, 所以an＋１＝２×２n－１＝２n,所以an＝２n－１, 利用分组求和可得,数列{an}的前n项和Sn＝ ２(１－２n) １－２ －n ＝２n＋１－２－n． １２．解析:设公比为q(q＞０),因为数列{bn}是首项为１的等比 数列,且bn＞０,b２＋b３＝１２, 所以q２＋q－１２＝０,解得q＝３(q＝－４不合题意,舍去), 所以bn＝３n－１． 若选①,由Sn＝ １ ２n ２＋５２n ,可得Sn－１＝ １ ２ (n－１)２＋５２ (n －１)(n≥２),两式相减可得an＝n＋２(n≥２), 又a