高效作业（八）向量在立体几何中的应用-【优化探究】2022高二数学暑假高效作业（新教材版 北师大版）

ABCD 的一个法向量,C 正确;对于 D,由AP→是平面ABCD 的法向量,得出AP→⊥BD→,则 D错误． ７．解析:∵AB→＝(３,－１,１),AC→＝(m＋１,n－２,－２), 且A,B,C三点共线, ∴存在实数λ,使得AC→＝λAB→． 即(m＋１,n－２,－２)＝λ(３,－１,１)＝(３λ,－λ,λ), ∴ m＋１＝３λ, n－２＝－λ, －２＝λ, ì î í ïï ï 解得 λ＝－２, m＝－７, n＝４． ì î í ïï ï ∴m＋n＝－３． 答案:－３ ８．解析:∵OC→＝１２AC →＝１２(AB →＋AD→), ∴OC１ →＝OC→＋CC１→＝ １２ (AB →＋AD→)＋AA１→＝ １２AB →＋ １２AD → ＋AA１ →． 答案:１ ２AB →＋１２AD →＋AA１→ ９．解析:由题意,可设a＝xb＋yc, 故(２,－１,３)＝x(－１,４,－２)＋y(７,５,λ), 即 －x＋７y＝２, ４x＋５y＝－１, －２x＋λy＝３, ì î í ïï ï 解得λ＝６５７． 答案:６５ ７ １０．解析:(１)由题图知MN→＝MA１→＋A１B１→＋B１N→＝１３BA１ →＋AB→ ＋１３B１C１ →＝１３(c－a)＋a＋ １ ３ (b－a)＝１３a＋ １ ３b＋ １ ３c． (２)由题设条件 因为(a＋b＋c)２＝a２＋b２＋c２＋２a􀅰b＋２b􀅰c＋２a􀅰c＝１＋ １＋１＋０＋２×１×１×１２＋２×１×１× １ ２＝５ ,所以|a＋b＋c| ＝ ５,|MN→|＝１３|a＋b＋c|＝ ５ ３． 答案:(１)１３a＋ １ ３b＋ １ ３c　 (２)５３ １１．解析:(１)∵P 是C１D１ 的中点, ∴AP→＝AA１→＋A１D１→＋D１P→＝a＋AD→＋１２D１C１ →＝a＋c＋１２AB → ＝a＋１２b＋c． (２)∵N 是BC 的中点, ∴A１N →＝A１A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋１２BC → ＝－a＋b＋１２AD →＝－a＋b＋１２c． (３)∵M 是AA１ 的中点, ∴MP→＝MA→＋AP→＝１２A１A →＋AP→＝－１２a＋ a＋ １ ２b＋c( ) ＝１２a＋ １ ２b＋c , 又NC１ →＝NC→＋CC１→＝ １２BC →＋AA１→＝ １２AD →＋AA１→＝a＋ １ ２c , ∴MP→＋NC１→＝ １２a＋ １ ２b＋c( )＋ a＋ １ ２c( )＝ ３ ２a＋ １ ２b＋ ３ ２c． １２．解析:(１)设AB→＝a,AD→＝b,AA１→＝c, 则AG→＝AA１→＋A１D１→＋D１G→＝c＋b＋１２DC →＝１２a＋b＋c＝ １ ２AB →＋AD→＋AA１→,故AG→＝１２AB →＋AD→＋AA１→． (２)证明:AC→＝AB→＋BC→＝a＋b, EG→＝ED１→＋D１G→＝１２b＋ １ ２a＝ １ ２AC →, ∵EG 与AC 无公共点,∴EG∥AC, ∵EG⊄平面AB１C,AC⊂平面AB１C,∴EG∥平面AB１C． 又∵AB１ →＝AB→＋BB１→＝a＋c, FG→＝FD１→＋D１G→＝１２c＋ １ ２a＝ １ ２AB１ →, ∵FG 与AB１ 无公共点,∴FG∥AB１, ∵FG⊄平面AB１C,AB１⊂平面AB１C,∴FG∥平面AB１C． 又∵FG∩EG＝G,FG⊂平面EFG,EG⊂平面EFG, ∴平面EFG∥平面AB１C． 高效作业(八) 知识乐园 ２．(１)cosθ＝|a 􀅰b| |a||b|　 (２)|cos‹a,n›|＝|a 􀅰n| |a||n|　 (３) |n１􀅰n２| |n１||n２| 演练天地 １．C　建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐标系．设正方体的棱长为２, 则 B１ (２,２,２),M (１,１,０), D１(０,０,２),N(１,０,０), ∴B１M →＝(－１,－１,－２),D１N→ ＝(１,０,－２), ∴B１M 与D１N 所 成 角 的 余 弦 值为 |B１M →􀅰D１N→| |B１M →|􀅰|D１N→| ＝ |－１＋４| １＋１＋４× １＋４ ＝ ３０１０ ． ２．B　∵PA→＝(－２,０,－１),n＝(２,０,１),∴点P 到平面α 的距 离d＝|PA →􀅰n| |n| ＝ |－４－１| ５ ＝ ５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋