高效作业（五）双曲线-【优化探究】2022高二数学暑假高效作业（新教材版 北师大版）

∴ △ABF 的 面 积 S ＝ １２ c | y１ － y２ | ＝ １ ２c (y１＋y２)２－４y１y２＝c a２b２ b２t２＋a２ ≤cb,当t＝０ 时 取 等号． ∴bc＝２, ∴a２＝b２＋c２≥２bc＝４,a≥２． ∴椭圆E 的长轴长的最小值为４． 答案:４ １１．解析:(１)将(０,４)代入椭圆C的方程得１６ b２ ＝１,∴b＝４． 又e＝ca ＝ ３ ５ ,得a ２－b２ a２ ＝９２５ ,即１－１６ a２ ＝９２５ , ∴a＝５,∴椭圆C的方程为x ２ ２５＋ y２ １６＝１． (２)过点(３,０)且斜率为４５ 的直线方程为y＝４５ (x－３)． 设直线与椭圆C的交点为A(x１,y１),B(x２,y２), 将直线AB 的方程y＝４５ (x－３)代入椭圆C的方程,得 x２ ２５＋ (x－３)２ ２５ ＝１ ,即x２－３x－８＝０,则x１＋x２＝３, ∴ x１＋x２ ２ ＝ ３ ２ ,y１＋y２ ２ ＝ ２ ５ (x１＋x２－６)＝－ ６ ５ ,即所截得 线段中点的坐标为 ３ ２ ,－６５( )． １２．解析:(１)由题意得c＝３,ca ＝ ３ ２ ,所以a＝２ ３,又因为a２ ＝b２＋c２,所以b２＝３．所以椭圆的方程为x ２ １２＋ y２ ３＝１． (２)由 x２ a２ ＋ y２ b２ ＝１ , y＝kx { 得(b２＋a２k２)x２－a２b２＝０． 设A(x１,y１),B(x２,y２), 所以x１＋x２＝０,x１x２＝ －a２b２ b２＋a２k２ ,依题意易知,OM⊥ON, 四边形OMF２N 为平行四边形,所以AF２⊥BF２． 因为F２A →＝(x１－３,y１),F２B→＝(x２－３,y２), 所以F２A →􀅰F２B→＝(x１－３)(x２－３)＋y１y２＝(１＋k２)x１x２＋ ９＝０, 即－a ２(a２－９)(１＋k２) a２k２＋(a２－９) ＋９＝０, 将其整理为k２＝a ４－１８a２＋８１ －a４＋１８a２ ＝－１－ ８１ a４－１８a２ ． 因为 ２ ２＜e≤ ３ ２ ,所以２ ３≤a＜３ ２,即１２≤a２＜１８． 所以k２≥１８ ,即k∈ －∞,－ ２４ æ è ç ] ∪ ２４,＋∞[ ö ø ÷． 高效作业(五) 知识乐园 ２．(－c,０)　(c,０)　(０,－c)　(０,c)　２a　２b　c２－b２ 演练天地 １．B　若方程 x ２ ２－m－ y２ m－１＝１ 表示双曲线,则(２－m)􀅰(m－ １)＞０,解得１＜m＜２．当１＜m＜２时,方程 x ２ ２－m－ y２ m－１＝１ 表示双曲线．故“m＞１且 m≠２”是“方程 x ２ ２－m－ y２ m－１＝１ 表 示双曲线”的必要不充分条件． ２．A　∵a２＝２５,∴a＝５．设点为P,双曲线的左、右焦点分别为 F１,F２,由双曲线定义可得||PF１|－|PF２||＝１０．由题意设 |PF１|＝１２,则|PF１|－|PF２|＝±１０,解得|PF２|＝２２或２． ３．A　∵e＝ca ＝ a２＋b２ a ＝ ３ , ∴a２＋b２＝３a２,∴b＝ ２a． ∴渐近线方程为y＝± ２x． ４．C　因为双曲线的一条渐近线方程为y＝bax ,由题意得b a ＞ ２,所 以 双 曲 线 的 离 心 率e＝ ca ＝ １＋ b a( ) ２ ＞ １＋４ ＝ ５． ５．AC　设双曲线C 的方程为x ２ a２ －y ２ b２ ＝１,根据条件可知ba ＝ ３ ３ ,所以方程可化为x ２ ３b２ －y ２ b２ ＝１,将点(３,２)代入得b２＝１, 所以a２＝３,所以双曲线C 的方程为x ２ ３－y ２＝１,故 A 对;离 心率e＝ca ＝ a２＋b２ a２ ＝ ３＋１３ ＝ ２ ３ ３ ,故 B错;双曲线C 的焦点为(２,０),(－２,０),将x＝２代入得y＝e０－１＝０,所以 C对;联立 x２ ３－y ２＝１, x－ ２y－１＝０ { 整理得y２－２ ２y＋２＝０,则Δ＝８ －８＝０,故只有一个公共点,故 D错． ６．A　设双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a ＞０,b＞０)的右焦点 F 的坐标 为(c,０)．由圆的对称性及条件 |PQ|＝|OF|可 知,PQ 是 以 OF 为直径的圆的直径,且 PQ ⊥OF．设垂 足 为 M,连 接 OP,如 图,则|OP|＝a,|OM|＝ |MP|＝c２． 由|OM|２＋|MP|２＝|OP|２ 得 c２( ) ２ ＋ c２( ) ２ ＝a２,故ca ＝ ２ ,即e＝ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋