高效作业（四）椭圆-【优化探究】2022高二数学暑假高效作业（新教材版 北师大版）

１１．解析:(１)证明:将点A(３,１)的坐标代入直线l的方程,得左 边＝３(２m＋１)＋(m＋１)＝７m＋４＝右边,所以直线l过定 点A． 因为|AC|＝ (３－１)２＋(１－２)２＝ ５＜５,所以点A 在圆C 内,所以对任意的实数m,直线l与圆C 恒相交． (２)由平面几何的知识可得,l被圆C 截得的弦最短时l与 直径AC 垂直,因为kAC ＝ ２－１ １－３＝－ １ ２ ,所以此时直线l的 斜率k１＝２,所以直线l的方程为y－１＝２(x－３),即２x－y －５＝０． １２．解析:(１)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋１． 因为直线l与圆C 交于两点, 所以|２k－３＋１| １＋k２ ＜１．解得４－ ７３ ＜k＜ ４＋ ７ ３ ． 所以k的取值范围为 ４－ ７ ３ ,４＋ ７ ３ æ è ç ö ø ÷． (２)设 M(x１,y１),N(x２,y２)． 将y＝kx＋１代入方程(x－２)２＋(y－３)２＝１． 整理得(１＋k２)x２－４(１＋k)x＋７＝０． 所以x１＋x２＝ ４(１＋k) １＋k２ ,x１x２＝ ７ １＋k２ ． OM→􀅰ON→＝x１x２＋y１y２＝(１＋k２)x１x２＋k(x１＋x２)＋１＝ ４k(１＋k) １＋k２ ＋８．由题设可得４k (１＋k) １＋k２ ＋８＝１２,解得k＝１, 所以直线l的方程为y＝x＋１． 故圆心C在直线l上,所以|MN|＝２． 高效作业(四) 知识乐园 ２．(c,０),(－c,０)　(０,c),(０,－c)　b２＋c２ 演练天地 １．D　设圆 M 的半径为r, 则|MC１|＋|MC２|＝(１３－r)＋(３＋r)＝１６＞８＝|C１C２|, 所以 M 的轨迹是以C１,C２ 为焦点的椭圆,且２a＝１６,２c＝８, 故所求的轨迹方程为x ２ ６４＋ y２ ４８＝１． ２．C　由椭圆 x ２ １１－m＋ y２ m－３＝１ 的长轴在y轴上,焦距为４,可 得 m－３－１１＋m＝２,解得m＝９． ３．D　∵e＝ca ＝ a２－b２ a２ ＝１３ ,∴８a２＝９b２,∴ab ＝ ３ ２ ４ ． ４．C　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,又 由三角形面积公式得 １ ２×２c×b＝ １ ２ (２a＋２c)×b３ ,得a＝ ２c,即e＝ca ＝ １ ２． ５．C　设椭圆方程为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),由已知设BF 的方 程为x c ＋ y b ＝１ ,因为点O 到直线BF 的距离为 ３,所以bca ＝ ３,又因为过F 垂直于椭圆长轴的弦长为２,所以２b ２ a ＝２ , 结合a２＝b２＋c２,知a＝４,b＝２．故椭圆G 的方程为x ２ １６＋ y２ ４ ＝１． ６．ACD　由已知得,２b＝２,b＝１,ca ＝ ６３ , 又a２＝b２＋c２,解得a２＝３． ∴椭圆方程为x２＋y ２ ３＝１． 如图,∴|PQ|＝２b ２ a ＝ ２ ３ ＝２ ３３ , △PF２Q 的周长为４a＝４ ３． ７．解析:由椭圆方程知a＝５,b＝３,c＝４,所以其离心率e＝ca ＝ ４ ５．△PF１F２ 的周长为２a＋２c＝１０＋８＝１８． 答案:４ ５　１８ ８．解析:由题意,得F１(－ ３,０), ∵PF１⊥x轴,∴P － ３,± １ ２( ) ,∴|PF１|＝ １ ２ , ∴|PF２|＝４－ １ ２＝ ７ ２． 答案:７ ２ ９．解析:设椭圆 方 程 为x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１,依 题 意,显 然 有|PF２|＝ |F１F２|,则 b２ a＝２c ,即a ２－c２ a ＝２c ,即e２＋２e－１＝０,又０＜e ＜１,解得e＝ ２－１． 答案:２－１ １０．解析:如图所示, 设AB 的方程为ty＝x,F(c, ０),A(x１,y１),B(x２,y２)． 则y１＝－y２． 联立 ty＝x, x２ a２ ＋ y２ b２ ＝１ { 可得y２＝ a ２b２ b２t２＋a２ ＝－y１y２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 4 ∴ △ABF 的 面 积 S ＝ １２ c | y１ － y２ | ＝ １ ２c (y１＋y２)２－４y