高效作业（十七）等差数列-【优化探究】2022高二数学暑假高效作业（新教材版 北师大版）

因为an＝n２－５n＋４＝ n－ ５ ２( ) ２ －９４ , 由二次函数性质,得当n＝２或n＝３时,an 有最小值,其最 小值为a２＝a３＝－２． (２)由an＋１＞an,知该数列是一个递增数列,又因为通项公 式an＝n２＋kn＋４,可以看作是关于n的二次函数,考虑到 n∈N∗ ,所以－k２＜ ３ ２ ,解得k＞－３． 所以实数k的取值范围为(－３,＋∞)． 高效作业(十七) 知识乐园 １．(１)第２项　同一个常数　(３)(n－１)　(n－m) 演练天地 １．A　由a４＋a８＝２a６＝１０,得a６＝５,所以４d＝a１０－a６＝１,解 得d＝１４． ２．A　设等差数列{an}的公差为d,由题意可得２(a１＋６d)＝a１ ＋７d＋５,得a１＋５d＝５,则S１１＝１１a１＋ １１×１０ ２ d＝１１ (a１＋ ５d)＝１１×５＝５５． ３．B　由一元二次方程根与系数的关系,可得a６＋a８＝８,则S１３ ＝ １３(a１＋a１３) ２ ＝ １３(a６＋a８) ２ ＝ １３×８ ２ ＝５２． ４．BCD　对于 A,取a＝１,b＝２,c＝３,则a２＝１,b２＝４,c２＝９,此 时a２,b２,c２ 不成等差数列,故 A是假命题;对于B,令a＝b＝ c,则２a＝２b＝２c,此时２a,２b,２c 是公差为０的等差数列,故 B 是真命题;对于 C,∵a,b,c成等差数列,∴b－a＝c－b＝m(m 为常数)．又(kb＋２)－(ka＋２)＝k(b－a),(kc＋２)－(kb＋２) ＝k(c－b),∴(kb＋２)－(ka＋２)＝(kc＋２)－(kb＋２)＝km (km 为常数),故 C是真命题;对于 D,令a＝b＝c≠０,则 １a ＝ １ b＝ １ c ,此时１ a ,１ b ,１ c 是公差为０的等差数列,故 D 是真 命题． ５．D　∵公差d＞０,S９＞S８,又∵(S８－S５)(S９－S５)＜０,∴S８ ＜S５＜S９,∴a６＋a７＋a８＜０,a６＋a７＋a８＋a９＞０,∴a７＜０, a７＋a８＞０,|a７|＜|a８|． ６．BD　∵对于任意n＞１,n∈N∗ ,满足Sn＋１＋Sn－１＝２(Sn＋１), ∴Sn＋１－Sn＝Sn－Sn－１＋２,∴an＋１－an＝２． ∴数列{an}在n≥２时是等差数列,公差为２．又a１＝１,a２ ＝２, 则a９＝２＋７×２＝１６,a１０＝２＋８×２＝１８,S９＝１＋８×２＋ ８×７ ２ ×２＝７３ ,S１０＝１＋９×２＋ ９×８ ２ ×２＝９１． ７．解析:由题意知d＜０且 a８＞０, a９＜０,{ 即 ７＋７d＞０, ７＋８d＜０,{ 解得－１＜d ＜－７８． 答案: －１,－７８( ) ８．解析:∵am＝a１＋a２＋􀆺＋a９＝９a１＋ ９×８ ２ d＝３６d＝a３７ , ∴m＝３７． 答案:３７ ９．解析:设公差为d,∵S９９－ S７ ７＝２ ,∴９－１２ d－ ７－１ ２ d＝２ , ∴d＝２,∵a１＝－９,∴an＝－９＋２(n－１)＝２n－１１,S１０＝１０ ×(－９)＋１０×９２ ×２＝０． 答案:２n－１１　０ １０．解析:因为{an}为等差数列,所以an＋２＋an＝２an＋１,又a２n＋１ ＝an＋２＋an,所以a２n＋１＝２an＋１．因为数列{an}的各项均不为 零,所 以 an＋１ ＝２,所 以 S２n＋１ ＝ (a１＋a２n＋１)(２n＋１) ２ ＝ ２×an＋１×(２n＋１) ２ ＝４n＋２． 答案:４n＋２ １１．解析:(１)设{an}的公差为d． 由S９＝－a５ 得a１＋４d＝０． 由a３＝４得a１＋２d＝４． 于是a１＝８,d＝－２． 因此{an}的通项公式为an＝１０－２n． (２)由(１)得a１＝－４d,故an＝(n－５)d, Sn＝ n(n－９)d ２ ． 由a１＞０知d＜０,故Sn≥an 等价于n２－１１n＋１０≤０,解得 １≤n≤１０,所以n的取值范围是{n|１≤n≤１０,n∈N}． １２．解析:(１)证明:当n＝１时,有２a１＝a２１＋１－４,即a２１－２a１－ ３＝０,所以a１＝３(a１＝－１舍去)． 当n≥２时,有２Sn－１＝a２n－１＋n－５, 又２Sn＝a２n＋n－４, 所以两式相减得２an＝a２n－a２n－１＋１,即a２n－２an＋１＝a２n－１, 即(an－１)２＝a２n－１, 因此an－１＝an－１或an－１＝－an－１． 若an－１＝－an－１,则an＋an－１＝１．而a１＝３, 所以a２＝－２,这与数列{an}的各项均为正数矛盾, 所以an－１＝an－１,即an－an－１＝１, 因此数列{an}为等差数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋