1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时 空间向量与平行关系 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.了解空间中点、直线和平面的向量表示． 2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 3.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点) 1、直观想象 2、数学运算 3、逻辑推理 【自主学习】 一．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量 表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ ，也可以表示为＝ .这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝ .那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝ ，这就是空间平面ABC的向量表示式. 二．直线的方向向量与平面的法向量 1.直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线 的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2.平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的 a，则向量a叫做平面α的法向量． 解读：（1）法向量不能为零向量；（2）法向量与平面内任一向量垂直；（3）平面的法向量可以有无数个，任意两个都是共线向量. 三．空间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔ ⇔ 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ ⇔ 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔ ⇔ 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (2)直线l的一个方向向量为a＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，－1,1)，l⊄α，则l∥α.(　　) (3)若点A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的向量参数方程可以为＝t.(　　) (4)两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．( ) 2.若A(1，0，－1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(－1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 3.设平面α的法向量为(1，3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝________． 【经典例题】 题型一　求平面的法向量 点拨：求平面法向量的步骤 1.设法向量n＝(x，y，z)； 2.在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)； 3.建立方程组 4.解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量． 例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量． 【跟踪训练】1 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 题型二 证明线线平行 点拨：证明两直线平行的方法 法一：平行直线的传递性； 法二：基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝(x1，y1，z1)，m2＝(x2，y2，z2)，即证明m1＝λm2，即x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2. 例2 在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 【跟踪训练】2 已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．， C．－3,2 D．2,2 题型三 证明线面、面面平