专题11.2 与三角形有关的角-【帮课堂】2022-2023学年八年级数学上册同步精品讲义（人教版）

专题11.2 与三角形有关的角 ( 目标导航 ) 1、会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2、会运用三角形内角和定理进行计算. 3、理解并掌握三角形的外角的概念． 4、会利用三角形的外角性质、直角三角形的性质解决问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 三角形的内角和定理 1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． 2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 3）三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 【微点拨】 三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 【知识拓展1】运用三角形的内角和定理解决角度问题 例1．（2022·河南濮阳·八年级期末）有一块直角三角板放置在上，三角板的两条直角边，恰好分别经过点B、C，在中，，则的度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先在△DBC中，根据三角形内角和定理可得到∠DBC与∠DCB的和，再在△ABC中利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】在△DBC中，∵，∴ ， ∵，∴在△ABC中， 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°，熟记三角形内角和是解题的关键． 【即学即练】 1．（2022春•顺德区期中）如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的内角平分线且BO，CO相交于点O． （1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度数； （3）请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的内角和定理即可求解； （2）由三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义得∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB，从而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度数； （3）仿照（2）的过程进行求解即可． 【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°， ∴∠CBO∠ABC＝20°，∠BCO∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°； （2）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°； （3）由题意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠CBO∠ABC，∠BCO∠ACB， ∴∠CBO+∠BCO（∠ABC+∠ACB）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°∠A，即∠BOC＝90°∠A． 【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【知识拓展2】三角形的内角和定理的证明 例2．（2022·浙江杭州·八年级期末）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明． 已知：DEBC．求证：三角形三个内角的和等于180°．证明：过点作直线DEBC． 【答案】见解析 【分析】过点A作DEBC，依据平行线的性质，即可得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180°． 【详解】解：已知：，，是的三个内角， 求证：． 证明：如图，过点作直线．∴，， ∵点D，A，E在同一条直线上，∴∠BAC+∠DAB+∠EAC＝180°， ∴，即三角形的内角和为180°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【即学即练】 1. （2021·吉林·舒兰市教师进修学校七年级期末）如图，在小学我们通过观察、实验的方法得到了“三角形内角和是180°”的结论。小明通过这学期的学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：实验1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用平行线的性质就可以解决问题了．小明的证明过程如下： 已知：如图，．求证：． 证明：延长，过点作． ∴______（两直线平行，内错