6.4.3 余弦定理【教学设计+课件】-高中数学新教材必修第二册小单元教学+专家指导（视频+课件+教案）

新教材数学研修班训练营 专家引领 • 名校参与 • 名师共创 6.4.3.1余弦定理 固安县第一中学 杨景泉 一、课题：余弦定理 二、教学内容 2.1余弦定理的向量证明方法； 2.2余弦定理及其推论； 2.3利用余弦定理及其推论解三角形. 内容解析 学习本节课之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，解三角形是在这些知识的基础上，对任意三角形的边长和角度关系再作进一步的探索研究．余弦定理是对初中解直角三角形内容的直接延伸，余弦定理是研究任意三角形边角之间关系的重要开端，通过研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 用余弦定理解三角形，是典型的用代数的方法来解决的几何问题的类型，通过研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美；通过解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活． 三、教学目标 3.1课前预习目标 通过预习会用向量法证明出余弦定理，推到推论. 3.2课堂学习过程目标 （1）通过用向量运算完成余弦定理的证明，巩固了向量法在平面几何中的应用，发展学生数学抽象、数学运算等核心素养. （2）通过向量运算，感悟勾股定理是余弦定理的特例，体会由特殊到一般的数学思想，进一步发展学生数学抽象、数学建模等核心素养. （3）运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，加深了对三角形性质的认识，发展学生数学抽象、数学运算等核心素养. 3.3课后检测目标 学生掌握把实际问题转化为数学问题,能应用余弦定理及推论完成解三角形的两类题型，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养. 四、教学重点、难点 4.1重点：余弦定理的推导，利用余弦定理及推论解三角形. 4.2难点：利用向量方法发现和证明余弦定理的过程，探索多种余弦定理的证明方法，能够熟练运用余弦定理解三角形. 五、教学过程设计 引导语： 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么? （一）余弦定理的证明 问题1： 已知一个三角形的两条边及其夹角,能求这个三角形的第三边吗? 问题1.1 在△ABC中，如果已知边a，b和角C，那么从向量的角度考虑，向量如何用已知边所对应的向量表示？ 问题1.2 根据已知的边a，b和角C这三个量，如何求出||？ 问题1.3 余弦定理中边的可轮换，你能根据上面的一个式子 得到其余的两个式子吗？ 问题1.4 余弦定理中的边具有可轮换的特点，则上面三个式子可以用 概括的文字语言统一叙述吗？ 师生活动：学生画出△ABC，引导学生完成问题1.1将几何元素用向量表示，问题1.2结合三角形减法法则，得到：设，则. 所以两边平方得： 所以 教师解释可轮换性，引导学生完成问题1.3说出下面结论. 以上得到的这三个式子就是余弦定理的符号表达式；教师引导学生完成问题1.4，用精炼语言，表达余弦定理的文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 设计意图：让学生体会向量方法的优势，同时经历余弦定理的推导过程，深入理解定理的内涵， 教学中可以引导学生自行用文字语言叙述余弦定理，以此培养学生的数学表达能力. （二）余弦定理的推论推导 问题2：在△ABC中，已知三条边，如何求出其三个内角？ 师生活动：教师提出问题，学生容易完成公式的变形，于是得到余弦定理中的三个公式变形为： cos A＝ cos B＝ cos C＝. 设计意图：提升学生对等式的变形能力，同时让学生体会已知三边求角的方法. (三)勾股定理与余弦定理的关系 问题3：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 师生活动：写出余弦定理和勾股定理，比较式子的异同，发现它们的关系. 如果中有一个角是直角，设，， 这时.由余弦定理可得，这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 设计意图：发现前后知识的联系，架构知识体系，提升学生的思辨水平，发展学生由特殊到一般的思想. （四）应用定理解决问题 问题4：已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形，利用余弦定理及推论可以解决哪些类解三角形的问题？ 师生活动：观察余弦定理中元素个数，总结题型特征. （1）利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. （2）利用推论可以由三角形的三