1.1 集合的含义与表示-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

集合的含义与表示 元素与集合的概念 一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员). 集合的元素特征 ① 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.  Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故帅哥不能组成集合. ② 互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.  Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别. 若集合，就意味且. ③ 无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换. Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，. 【例】下列所给的对象能构成集合的是__________． (1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5) ，，，． 解析 (1)能，集合元素是直角三角形； (2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合； (3)不能，“比较接近”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合； (4)能，集合元素是“16岁以下的学生”； (5)不能，，有两个数字重复，不符合元素的互异性. 故答案是(1)(4) 【练1】下列所给的对象能构成集合的是__________． (1)高中数学必修第一册课本上所有的难题；(2)高一(3)班的高个子； (3)英文26个字母；(4)中国古代四大发明；(5)方程的实数根. 答案 【练2】由组成一个集合，中含有个元素，则实数的取值可以是( ) A. B. C. D. 解析根据集合元素的互异性，.选. 元素与集合的关系 若是集合的元素，则称属于集合，记作；  若不是集合的元素，则称不属于集合，记作.  Eg：菱形，. 【例】已知集合，那么下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 解析 都不是的解，则，故选：． 【练1】对于集合，若，则，那么的取值是________． 解析 当满足题意，当时，. 【练2】脑筋急转弯：你能证明上帝不是万能的么？ 解析 如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？) 常用数集  自然数集(或非负整数集)，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作. 【例】用符号或填空： ；；；；． 解析 (1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数， 所以有：；；；；． 【练】用符号或填空： ；；；；． 解析 因为不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以有：；；；； 集合的分类 有限集，无限集，空集. Eg：奇数集属于无限集，. 集合的表示方法 ① 列举法  把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法. ② 描述法  用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.  方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：.  用符号描述法表示集合时应注意：  弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？  元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.  Eg 集合 元素 化简结果 方程的解 不等式的解集 函数中取值范围(定义域) 函数中取值范围(值域) 函数的图像上的点 ---- 看集合先看元素类型. 【例1】用列举法表示下列集合 (1)以内偶数的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合． 解析 (1)； (2)解方程，得， 故方程的所有实数根组成的集合为； (3)解方程组得， 因此一次函数与的图象的交点为，故所求的集合为． 【例2】用描述法表示下列集合： (1) 大于且小于的所有自然数组成的集合； (2) 不等式的解集； (3) (阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合) 解析 (1) 用描述法表示为； (2) 用描述法表示为； (3)用描述法表示为. 【练1】下面三个集合：①；②；③． (1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？ 解析 (1)它们是互不相同的集合． (2)集合①的代表元素是，满足条件中的， ； 集合②的代表元素是，满足条件的的取值范围