上海市复旦大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中数学试卷

2021-2022学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．（4分）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“”的　 　条件． 2．（4分）若集合M＝{y|y＝x2，x∈Z}，N＝{y|y＝﹣2x2+3，x∈Z}，则M∩N＝　 　． 3．（4分）已知集合A＝{x|x2+ax+3＝0}，且满足1∈A，则集合A的子集个数为 　 　． 4．（4分）关于x的一元二次不等式x2﹣8x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是 　 　． 5．（4分）若关于x的方程x2﹣kx+2＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数k的取值范围为 　 　． 6．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣1|+1﹣a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围为 　 　． 7．（5分）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝xy，若不等式x+2y≥m2﹣2m恒成立，则实数m的取值范围为 　 　． 8．（5分）已知定义在R上的函数满足f（x）＝f（2﹣x），且f（x+3）为奇函数，当x∈[1，3）时，f（x）＝x，则f（﹣1）＝　 　． 9．（5分）若已知a，b，c均为正数，则的最小值为 　 　． 10．（5分）设函数，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为 　 　． 11．（5分）函数的值域为 　 　． 12．（5分）对于实数a，b∈R，函数在区间x∈[1，2]上的最大值记为M（a，b），M（a，b）的最小值为 　 　． 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）已知命题“存在x∈{x|1＜x＜3}，使等式x2﹣mx﹣1＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围（　　） A．[，+∞） B．（﹣∞，0）∪[，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0]∪[，+∞） 14．（5分）判断下列选项中正确的是（　　） A．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．若对于区间I上的函数f（x），满足对于任意的x1，x2∈I，，则函数f（x）在I上是增函数 C．已知x≠0时，，则 D．已知f（x+1）＝x2+2x+2，则f（x）＝x2+1 15．（5分）对于实数x，y，记，下列选项错误的是（　　） A．对于任意实数，x＜y＜z，d（x，y）+d（y，z）≥d（x，z） B．对于任意实数x≤y，d（x，y）≥0，其中d（x，y）＝0成立当且仅当x＝y C．对于任意实数x＜y＜z，max{d（x，y），d（y，z）}≤d（x，z），其中 D．对于任意实数x＜y，存在正实数r和实数z，使得d（x，z）＞r且d（y，z）＞r 16．（5分）已知a＞0，b∈R，若x＞0时，关于x的不等式（ax﹣1）（x2+bx﹣4）≥0恒成立，则的最小值是（　　） A． B． C．4 D． 三、解答题（本大题共5题，共76分） 17．（14分）已知集合，集合B＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． 18．（14分）已知关于x的二次方程x2+2m2x+m＝0． （1）若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（0，1）内，求m的取值范围； （2）若方程两根均在区间[﹣1，1]内，求m的取值范围． 19．（14分）双十一期间，商户为揽客拟定商品按y（元/斤）销售，售价随时间x∈[0，1]变化的关系为y＝f（x），且在[0，1]上是严格减函数． （1）姚女士需要在x＝0和x＝1两个时刻分两批屯商品，两次总共屯5斤．得知了商家的销售方案后，姚女士咨询了两位平台主播，主播小佳表示应该选择每次买相同重量的商品，主播小琦认为还是每次买相同总价的商品，请问到底哪种更划算？说明理由． （2）商家决定售价按照来销售，而姚女士考虑在x时刻买200元，在1﹣x时刻购买300元，请问她至多买多少斤？（答案精确到1斤） 20．（16分）设y＝f（x）的定义域是[﹣1，1]，在区间[0，1]上是严格减函数；且对任意x1，x2∈[﹣1，1]，若x1±x2∈[﹣1，1]，则f（x1+x2）+f（x1﹣x2）＝2f（x1）f（x2）． （1）求证：函数y＝f（x）是一个偶函数； （2）求证：对于任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥﹣1． （3）若，解不等式f（2x）≥3f（x）﹣2． 21．（18分）对于定义域为D的函数y＝f（x），区间I⊆D．若满足条件：使f（x）在区间I上的值域为I，即{y|y＝f（x），x∈I}＝I，则把y＝f（x）称为I上的闭函数；若满足条件：存在一个常数α∈（0，1]对于任意的x1，x2∈I，如果x1≠x2，那么|f（x1）﹣f（x2）|≤α|x1﹣x2|，则把y＝f（x）称为I上的压