1.2 空间向量基本定理（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理， 2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点） 1、数学运算 2、数学抽象 【自主学习】 一．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ ． 我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量． 二．空间向量的正交分解 1.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2.向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk．像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 思考1：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？ 思考2：基底中能否有零向量？ 解读：1.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. 2.基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便. 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( ) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( ) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( ) (4)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．(　　) (5)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　　) 2.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【经典例题】 题型一　基底的判断 点拨：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． 方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 【跟踪训练】1 若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(O为空间中不同于M，A，B，C的一点)(　　) A．＝＋＋ B．＝＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 题型二　用基底表示向量 点拨：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点． (1)用向量a，b，c表示，； (2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 【跟踪训练】2 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和. 题型三　空间向量基本定理的应用 点拨：首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示． (1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0． (2)若证明线线平行，只需证明两向量共线． (3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)． 例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1． 【跟踪训练】3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值． 【当堂达标】 1. 以下四个命题中正确的是(　　) A．基底{a，b，c}中可以有零向量 B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0 D．空间向量的基底只能有一组 2. (多选)已知点O，A，B，C为