专题10 指数函数-【中职数学】备战中职高考一轮专题复习（全国适用）

专题10 指数函数 ( 任务驱动 ) 1. 知道指数函数的图像和性质，能利用所知求一些复合函数的定义域、值域，判断奇偶性，比较两个幂值，对数值的大小. 2. 会利用指数函数的单调性解一些简单的指数方程和不等式. 3. 知道关于图像变换的一些简单知识. 4. 会判定简单地形如y=的函数的单调性. ( 要点点击 ) 1、 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 二、指数函数的图象和性质 图象 定义域   值域 性质 过定点 ，即0  时，1 减函数 增函数 2、 指数方程 （1） 指数方程的定义 在指数里含有未知数的方程，叫指数方程. （2） 一些特殊指数方程的解法 ①形如=的方程,一般可利用指数性质化成普通方程f(x)等于g(x)去求解. ②形如f()=0的方程,采用换元的方法，设=t ,解方程f(t)=0，求出t,得到=t的方程，两边取对数进一步求解. 四、指数函数的实际应用范畴 指数函数在自然科学和经济生活中都有着广泛的应用，生活、生产中许多问题都需要利用指数函数知识解决.如复力、折旧、人口增长问题等. 解析式形如的函数模型叫做指数模型，当a>1时叫做指数增长模型，当0<a<1时，叫做指数衰减模型. ( 常考题型 ) 题型一：函数的定义 例1．下列是指数函数的是（     ） A． B． C． D． 分析： 根据指数函数的解析式可知，为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数， C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义. 故选：D. 题型二、指数函数的性质 例2．已知函数，，则（       ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 分析： 在上是增函数， 所以最小值为，没有最大值. 故选：C 例3．函数与函数且的图象大致是（       ） A． B． C． D． 分析： 函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)， 当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递减，没有符合的选项； 当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在(0，＋∞)单调递增，符合的选项为B. 故选：B. 题型三、函数单调性的应用 例4．比较下列各组数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1. 解： (1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5＞1， ∴函数y＝1.5x在R上是增函数， ∵2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， ∵0＜0.6＜1， ∴函数y＝0.6x在R上是减函数， ∵－1.2＞－1.5，∴0.6－1.2＜0.6－1.5. (3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1，∴1.70.2＞0.92.1. 题型四、指数函数的应用 例5．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 分析： 根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64． 故选：D． ( 巩固演练 ) 1．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（       ） A． B．1 C． D．2 分析： 由题得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意. 所以. 故选：D 2．函数的图象与y轴的交点坐标是（       ） A． B． C． D． 分析： 令，则，故函数的图象与y轴的交点坐标是. 故选：B. 3．已知函数，则函数的图像经过（       ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 分析： 因为， 所以函数的图象经过一、二象限， 又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到， 所以函数的图象经过二、三、四象限，如图， 故选：B 4．若且，则函数的图象一定过点（       ） A． B． C． D． 分析： 令. 当时，， 所以函数的图象过点. 故选：C. 5．已知集合，则（       ） A． B． C． D． 分析： 解不等