【复习】专题02 指对函数+零点-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019）

指对函数与零点 【知识梳理】 1.指数函数的图象和性质 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 2.对数函数的图象与性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 定义 y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称 3.　函数的零点的概念 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 4.　零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 【典型例题】 考点一：指数函数 1. 已知且恒过定点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】解：， 当时，， 此时， 即函数过定点． 故答案为：． 2. 设，则使不等式成立的的集合是    A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 本题考查解指数不等式，涉及指数函数的单调性，不等式的解法，属于基础题． 先由指数函数的单调性化为不等式，再解不等式即可． 【解答】 解： ， 为减函数， ， ，解得 ， 故使条件成立的 的集合为 ， 故选 A ． 3. 已知函数，下面说法正确的有    A. 的图像关于原点对称 B. 的图像关于轴对称 C. 的值域为 D. ，且， 【答案】 AC 【解析】 【分析】 本题考查函数的奇偶性、单调性和值域，属于中档题． 通过判断 与 关系确定奇偶性，判断 、 的正误，分离常数根据指数函数的性质判断 的正误，通过判断 的单调性判断 的正误． 【解答】 解：函数 的定义域为 ， 因为 ， 所以 为奇函数，图象关于原点对称，所以 A 正确， B 错误； ， 因为 ， 所以 ， 所以 ，所以 C 正确； 任取 ， ， 因为 ， ， ， 所以 ， 所以 单调递增， 所以 ，且 ， ，故 D 错误． 故选 AC ． 4. 设函数，且，下列说法正确的是    A. 函数有最小值，无最大值 B. 函数与直线的图像有两个不同的公共点 C. 若，则 D. 若，则的取值范围是 【答案】 ACD 【解析】分析】 本题考查指数函数的性质，涉及图像的平移翻折变换和数形结合思想，属中档题． 画出函数草图，即可判定；结合图象，利用数形结合思想和指数函数的性质，可以判定；再结合函数思想和二次函数的性质，可以判定． 【解答】 解：作出函数的函数图象，如图所示： 由图可知，A正确；B错误； 选项：由及，结合图形观察可知，，， 由指数函数的性质得，， ，，所以可得，即，所以对； 选项：由且， 如下图所示，可知，，，， ， ，，， 当趋近于时，也趋近于，此时的值无限趋近于， 又， 当时，取得最小值， 由函数的连续性，可知D正确． 所以本题选ACD． 考点二：对数函数 5. 已知，且，函数的图象恒过点，若在幂函数图像上，则          ． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查对数函数的性质和特殊点，考查幂函数的解析式，属于中档题，由 ，知 ，即 时， ，由此能求出点 的坐标，用待定系数法设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，然后求解函数值． 【解答】 解： ， ，即 时， ， 点 的坐标是 ， 由题意，设   ，由于图象过点 ， 得 ， ， ， 故答案为 ． 6. 已知函数的值域为，则的取值范围是    A. B. C. 或 D. 或 【答案】 C 【解析】 【分析】