【复习】专题01 函数的基本性质-2022年暑假高一升高二数学教材预习辅导讲义（苏教版2019）

函数的基本性质 【知识梳理】 1.函数的定义域 关于函数定义域的求法 (1) 分式分母不为0, (2) 二次根式的被开方数不小于0, (3) 0次幂的底数不为0. (4)如果解析式中含有多个式子,则用大括号将x满足的条件列成不等式组,解出各个不等式后求交集. 2.抽象函数求定义域 抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下几点： （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围； （2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域. （3）对于抽象函数定义域的求解，（1） 若已知函数的定义域为，则复合函数 的定义域由不等式 . （4）若复合函数 的定义域为，则函数的定义域为在上的值域. 3.常见函数求值域 1.直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围； 2.配方法：适用于与二次函数有关的函数 3. 对勾函数：对勾函数是指形如的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“耐克函数”或“耐克曲线”． (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)． 4.函数的单调性 设函数的定义域为A，区间， 如果对于区间I内的任意两个值，当时， 都有, 那么称函数在这个区间I上是增函数，I称为的增区间； 如果对于区间I内的任意两个值，当时， 当时，都有, 那么称函数在这个区间I上是减函数，I称为的减区间. 5.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增区间和减区间统称为单调区间. 注：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接 6.单调性性质 (1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； (2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数； (3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数. 7.函数单调性的判断方法 (1)定义法； (2)图象法； (3)性质法； (4)对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为增函数；若与单调性相反，则为减函数. 8.函数的最大（小）值 一般地，设函数的定义域为， 如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最大值，记为； 如果存在，使得对于任意的，都有， 那么，我们称是函数的最小值，记为. 9.奇偶性的定义 设函数的定义域为， 如果对于任意的，都有，并且， 那么称函数是偶函数； 如果对于任意的，都有，并且， 那么称函数是奇函数； 注：定义域关于原点对称. 10.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 11.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且=-，则既是奇函数，又是偶函数 12.判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）性质法： 两个奇函数的和仍为奇函数； 两个偶函数的和仍为偶函数； 两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的积是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. 【典型例题】 考点一：函数的定义域 1. 已知的定义域为，则函数，则的定义域为   A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 本题主要考查了函数的定义域，属于基础题． 【解答】 解：的定义域为， ，解得， 又，解得， 故的定义域为． 故选A．   2. 已知集合，集合，函数的定义域为集合． Ⅰ若，求集合 Ⅱ命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 解：Ⅰ由题意得， 时原函数变成， 解得，所以， 所以，， Ⅱ因为，解得， 根据必要条件的概念， 由题意知，所以， 所以解得的取值范围是：． 考点二：函数值域 3. 函数的值域是        A.