2.2 基本不等式-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019必修第一册）

2.2基本不等式 【考点梳理】 考点一：　基本不等式 1．如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 考点二：　用基本不等式求最值 用基本不等式≥求最值应注意x，y是正数； (①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 【题型归纳】 题型一：基本不等式的内容及其注意 1．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（       ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知，，则下列式子一定成立的是（       ） A． B． C． D． 3．现有以下结论： ①函数的最小值是；②若、且，则； ③的最小值是；④函数的最小值为. 其中，正确的有（       ）个 A． B． C． D． 题型二：由基本不等式比较不等式的大小 4．若，，，则下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 5．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（       ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 6．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（       ） A． B． C． D． 题型三：基本不等式求积的最大值 7．若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 8．设正实数满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 9．下列说法正确的是（       ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，，，则的最小值为5 C．若，，，则xy的最小值为1 D．若，，，则的最小值为 题型四：基本不等式求和的最小值 10．设，，且，则的最大值为（       ）． A． B． C． D． 11．已知，则的最小值是(       ) A．5 B．4 C．8 D．6 12．已知，，且，则下列结论正确的是（       ） ①       ②的最小值为16       ③的最小值为8       ④的最小值为2 A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 题型五：二次商式的最值问题 13．函数的值域为（       ） A． B． C． D． 14．已知正实数x，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 15．函数（）的最小值为（       ） A． B． C． D． 题型六：基本不等式“1”的妙用 16．若，，且，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 17．若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，，且，则的最小值为（       ） A．10 B． C． D．20 18．已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（       ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型七：基本不等式的恒成立求参数问题 19．已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 20．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 21．设，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型八：对勾函数最值问题 22．下列关于基本不等式的说法正确的是（       ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，则的最小值为 D．若正数满足，则的最小值是3 23．下列函数中，最小值是的是（       ） A． B． C． D． 24．若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型九：基本不等式的实际问题的应用 25．已知，都是正数，则下列命题为真命题的是（     ） A．如果积等于定值，那么当时，和有最大值 B．如果和等于定值，那么当时，积有最小值 C．如果积等于定值，那么当时，和有最小值 D．如果和等于定值，那么当时，积有最大值 26．两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（       ） A．16m B．18m C． D． 27．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12，，则此三角形面积的最大值