1.1.1 空间向量及其线性运算（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其线性运算 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.理解空间向量的概念.(难点) 2.掌握空间向量的线性运算.(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点) 1、逻辑推理 2、数学运算 【自主学习】 一．空间向量的概念及几类特殊向量 名称 定义 空间向量 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_ _____ 单位向量 长度或模为______的向量 零向量 ______的向量 相等向量 方向______且模______的向量 相反向量 ______相反且______相等的向量 解读：(1)单位向量方向不确定； (2)零向量方向任意，与任何向量都平行； (3)向量不能比较大小，但是向量的模可以比较大小；关于两个向量的比较，我们仅研究是否相等。 二．空间向量的表示 空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为 . 三．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 三角形法则:a＋b＝＋＝ 　 平行四边形法则:a＋b＝＋＝ 　 减法 a－b＝－＝　 数乘 运算 当λ>0时，λa（λa的长度为a的|λ|a倍）＝λ＝（与a同向） 当λ<0时，λa＝λ＝（与a反向） 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律 a＋b＝ 　 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μ a)＝ 　 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝ 　 思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？ 四．共线向量 (1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量. (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________. 五．方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的 成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。 六．共面向量 定义：平行于________________的向量叫做共面向量. 1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面； (2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行. 2.对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面： (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)； (4)∥(或∥，或∥). 【小试牛刀】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)零向量没有方向．( ) (2)平面内所有的单位向量是相等的．( ) (3)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．(　　) (4)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　) (5)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．(　　) 2.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A.a＋b－c B.－a－b＋c C.－a＋b＋c D.－a＋b－c 【经典例题】 题型一 空间向量概念 点拨：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致． 例1 下列命题中正确的个数是(　　) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线； ②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面； ③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练】1 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量： ①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 题型二 空间向量的线性运算 点拨：运用法则进行向量的线性运算时注意的关键要素 (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”； (2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”； (3)平行四边形法则：“起点重合”； (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”． 例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2. 【跟踪训练】2 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值. (1)＝x＋y＋z； (2)＝x＋y＋z. 题型三 向量的共线及判定 例3 如图，在正方