3.4 函数的单调性-2022年初升高数学暑假衔接教材（新人教A版2019）

§3.4 函数的单调性 01课堂先知 知 识 题 型 重 要 度 难 度 函数的单调性 定义法证明函数单调性 ★★★★ ★★★ 求函数的单调性 ★★★★☆ ★★★☆ 函数单调性的应用 ★★★★☆ ★★★☆ 02知识清单 一．函数单调性的定义 若函数在区间内是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 二．函数单调性的数学表达式 若函数在区间上，任意满足，则函数在区间上单増；若满足，则函数在区间上单减．用一句话概括就是同号为増，异号为减． 条件 一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某 个区间上的任意两个自变量的值，，当时， 都有 都有 结论 那么就说函数在区间上是增函数 那么就说函数在区间上是减函数 图示 三．定义法证明函数的单调性 步骤 作法 取值 令，且 作差 用 变形 合并同类项、通分（分式）、分解因式（整式）、分子分母有理化（根式）、配方等 定号 判断的符号 结论 同号为増，异号为减 四．函数单调性的判定 函数单调性的判定方法有： 1．图像法； 2．结论法：①若函数为増函数（减函数），则为减函数（增函数）；②増+増=増；③减+减=减；④増-减=増；⑤减-増=减；⑥増+减=没有单调性；⑦若函数为増函数（减函数），则为减函数（增函数）；⑧若函数为増函数（减函数），则为减函数（增函数）． 五．复合函数的单调性 1．复合函数的定义 把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数，这个函数就叫做复合函数．通常，两个函数复合而成的函数叫做双重复合函数，三个函数复合而成的函数叫做三重复合函数，以此类推． 高中阶段，我们接触的复合函数多为双重复合函数． 2．复合函数单调性求法 四个字：同增异减． 【注意】：求复合函数的单调性时，注意复合函数的定义域． 六．函数图像变换之翻折变换（加绝对值） 1．若函数：_______________； 2．若函数：_______________． 03题型剖析 题型一 函数单调性的定义 判断（正确的打“√”，错误的打“×”） 例 （1）因为，所以函数在上是增函数．（ ） （2）若为上的减函数，则．（ ） （3）若函数在区间和上均为增函数，则函数在区间上为增函数．（ ） （4）若定义在上函数满足，则函数是增函数．（ ） 判断（正确的打“√”，错误的打“×”）变 （1）函数在上单调递增．（ ） （2）函数在定义域上单调递增．（ ） （3）函数在上单调递减．（ ） （4）若定义在上函数满足，则函数是减函数．（ ） 题型二 定义法证明函数的单调性 已知函数．例1 （1）判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数在区间上的值域． 已知函数，且.例2 （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并用定义证明. 已知函数其中、为常数且满足，.变1 （1）求函数的解析式； （2）证明：函数在区间(0，1)上是减函数. 应用函数单调性定义证明：函数在区间上是减函数．变2 证明：函数在区间和上是増函数，在和上例3 为减函数． 判断函数在上的单调性，并证明．变3 题型三 求函数的单调性 类型一 二次函数的单调性 求函数的单调性．【方法点睛】求二次函数单调性的方法是：对称轴法，所以，首先要求出函数的对称轴. 例1 求函数的单调性．变1 求函数的单调性． 例2 【方法点睛】x加绝对值：函数的图像去左翻右.画出函数的图像即可求出单调性. 求函数的单调性． 例3 【方法点睛】y加绝对值：函数的图像去下翻上.画出函数的图像即可求出单调性. 求函数的单调性．变2 求函数的单调性．变2 （1）已知在上是单调递增函数，则实数的取值范围为_______． 例4 （2）已知在上是单调递减函数，则实数的取值范围为_______． 已知在上是单调函数，则实数的取值范围为_______． 例5 函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（　　）变3 A． B． C． D． 函数在上是增函数，则的范围为（　　）变4 A． B． C． D． 类型二 分段函数的单调性 【注意】指数函数与对数函数还未学，老师可直接给出指数函数与对数函数的值. 若是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） 例1 A． B． C． D． 已知函数，是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）变1 A． B． C． D． 已知函数，若函数在上是增函数，求实数的取值范围． 例2 已知函数，满足对任意都有成立，则实