专题16 【三年高考+一年模拟】数列综合题-备战2023年北京高考数学真题模拟题分类汇编

专题16 数列综合题 1．（2022•北京）已知，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，2，，，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列． （Ⅰ）判断，1，4是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由； （Ⅱ）若，，，为连续可表数列，求证：的最小值为4； （Ⅲ）若，，，为连续可表数列，且，求证：． 2．（2021•北京）设为实数．若无穷数列满足如下三个性质，则称 为数列： ①，且； ②，2，； ③，，2，；，2，． （Ⅰ）如果数列的前四项为2，，，，那么是否可能为数列？说明理由； （Ⅱ）若数列是数列，求； （Ⅲ）设数列的前项和为，是否存在数列，使得恒成立？如果存在，求出所有的；如果不存在，说明理由． 3．（2020•北京）已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，，在中都存在一项，使得； ②对于中任意一项，在中都存在两项，，使得． （Ⅰ）若，2，，判断数列是否满足性质①，说明理由； （Ⅱ）若，2，，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由； （Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列． 4．（2022•东城区一模）设数列，，，．如果，2，，，2，，，且当时，，则称数列具有性质．对于具有性质的数列，定义数列（A）：，，，，其中． （Ⅰ）对（A）：0，1，1，写出所有具有性质的数列； （Ⅱ）对数列，，，，其中，，2，，，证明：存在具有性质的数列，使得（A）与为同一个数列； （Ⅲ）对具有性质的数列，若且数列（A）满足，2，，，证明：这样的数列有偶数个． 5．（2022•朝阳区一模）对非空数集，，定义与的和集，．对任意有限集，记为集合中元素的个数． （Ⅰ）若集合，5，，，，0，1，，写出集合与； （Ⅱ）若集合，，，满足，，且，求证：数列，，，是等差数列； （Ⅲ）设集合，，，满足，，且，2，，，集合，求证：存在集合满足且． 6．（2022•东城区二模）对于数列，，，，定义变换，将数列变换成数列（A）：，，，，，记（A）（A），（A）（A），． 对于数列，，，与，，，，定义． 若数列，，，满足，，2，，，则称数列为数列． （1）若，，1，，1，1，写出（A），并求（A）； （2）对于任意给定的正整数，是否存在数列，使得（A）？若存在，写出一个数列，若不存在，说明理由； （3）若数列满足（A）（A），2，，，求数列的个数． 7．（2022•房山区一模）若无穷数列满足如下两个条件，则称为无界数列： ①，2，3，； ②对任意的正数，都存在正整数，使得． （Ⅰ）若，，2，3，，判断数列，是否是无界数列； （Ⅱ）若，是否存在正整数，使得对于一切，都有成立？若存在，求出的范围；若不存在说明理由； （Ⅲ）若数列是单调递增的无界数列，求证：存在正整数，使得． 8．（2022•丰台区一模）已知集合，2，，且，，，，，且．若对任意，，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． （Ⅰ）判断下列集合是否是，2，3，4，的3元完美子集，并说明理由； ①，2，； ②，4，． （Ⅱ）若，，是，2，，的3元完美子集，求的最小值； （Ⅲ）若，，，是，2，，且的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件． 9．（2022•石景山区一模）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”． （1）已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由； （2）已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由； （3）已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”． 10．（2022•西城区二模）已知数列，，，，其中是给定的正整数，且． 令，，，，，（A），，，， ，，，，，（A），，，． 这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值． （Ⅰ）若数列，0，2，1，，2，求（A），（A）的值； （Ⅱ）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且（A）（A），求的值； （Ⅲ）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求（B）（B）的所有可能值（用表示）． 11．（2022•西城区一模）如果无穷数列是等差数列，且满足： ①，，，使得； ②，，，使得， 则称数列是“数列”． （Ⅰ）下列无穷等差数列中，是“数列”的为 　　；（直接写出结论） ，3，5， ，2，4， ，0，0， ，0，1， （Ⅱ）证明：若数列是“数列”，则且公差； （Ⅲ）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式． 12．（2022•丰台区二模）设，，，，，，，，是个互不相同的闭区间，若存在实数，使得，2，，，则称这个闭区间为聚合区间，为该聚合区间的聚合点． （Ⅰ）已知，，，为聚合区间，求的值； （Ⅱ）已知，，，，，，，，为聚合区间． （ⅰ）设，是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存