专题15 【三年高考+一年模拟】圆锥曲线综合题-备战2023年北京高考数学真题模拟题分类汇编

专题15 圆锥曲线综合题 1．（2022•北京）已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，．当时，求的值． 2．（2021•北京）已知椭圆的一个顶点，以椭圆的四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线、分别与直线交于点、，当时，求的取值范围． 3．（2020•北京）已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，．求的值． 4．（2022•海淀区一模）已知椭圆的下顶点和右顶点都在直线上． （1）求椭圆方程及其离心率； （2）不经过点的直线交椭圆于两点，，过点作轴的垂线交于点，点关于点的对称点为．若，，三点共线，求证：直线经过定点． 5．（2022•东城区一模）已知椭圆的离心率为，焦距为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点．是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6．（2022•朝阳区一模）已知椭圆的一个焦点为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率； （Ⅱ）过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值． 7．（2022•东城区二模）已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与轴不重合的直线交椭圆于不同的两点，，直线，分别交直线于点，． （1）求椭圆的方程； （2）设为原点．求证：． 8．（2022•丰台区一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点，．若，求点横坐标的取值范围． 9．（2022•石景山区一模）已知椭圆的短轴长等于，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请说明理由． 10．（2022•西城区二模）已知椭圆的左顶点为，圆经过椭圆的上、下顶点． （Ⅰ）求椭圆的方程和焦距； （Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点．求线段长度的最小值． 11．（2022•西城区一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与交于点，与轴交于点，为坐标原点．如果成立，求的值． 12．（2022•丰台区二模）已知椭圆经过点，到椭圆的两个焦点的距离和为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设，为的中点，作的平行线与椭圆交于不同的两点，，直线与椭圆交于另一点，直线与椭圆交于另一点，求证：，，三点共线． 13．（2022•昌平区二模）已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，，且．过点的直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线与直线相交于点，求证：，，三点共线． 14．（2022•门头沟区一模）已知椭圆的离心率为，长轴的右端点为． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）直线与椭圆分别相交于，两点，且，点不在直线上， （ⅰ）试证明直线过一定点，并求出此定点； （ⅱ）从点作垂足为，点，写出的最小值（结论不要求证明）． 15．（2022•通州区一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点为线段上的动点，过作线段的垂线交椭圆于不同的两点和，为线段上一点，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16．（2022•海淀区校级一模）已知椭圆经过点，且离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若，是椭圆上异于点的两点，且以线段为直径的圆恒过点，判断直线是否过定点？如果是，求此定点坐标．如果不是，请说明理由． 17．（2022•西城区校级模拟）设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为，，．过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在实数，使直线平行于直线？证明你的结论． 18．（2022•顺义区模拟）已知椭圆过定点，离心率． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线的方程． 19．（2022•海淀区二模）椭圆的左顶点为，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知经过点的直线交椭圆于，两点，是直线上一点．若四边形为平行四边形，求直线的方程． 20．（2022•平谷区模拟）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，当不与、重合时，直线，分别交直线于点、，证明：以为直径的圆过右焦点． 2