专题12 【三年高考+一年模拟】立体几何综合题-备战2023年北京高考数学真题模拟题分类汇编

专题12 立体几何综合题 1．（2022•北京）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 2．（2021•北京）如图，在正方体，为的中点，交平面交于点． （Ⅰ）求证：为的中点； （Ⅱ）若点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 3．（2020•北京）如图，在正方体中，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2022•海淀区一模）如图，在四棱柱，中，底面是正方形，平面平面，，． （1）求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度． 5．（2022•朝阳区一模）如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，．将沿折起到△的位置，得到五棱锥，如图2． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面平面， （ⅰ）求二面角的余弦值； （ⅱ）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交． 6．（2022•东城区二模）如图，平面平面，，，，分别为，的中点，，． （Ⅰ）设平面平面，判断直线与的位置关系，并证明； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 7．（2022•房山区一模）如图，在三棱柱中，平面，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，求： ①与平面所成角的正弦值； ②直线与平面的距离． 8．（2022•丰台区一模）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9．（2022•石景山区一模）如图1，在平面四边形中，，，，．将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示． （1）设平面与平面的交线为，求证：； （2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由． 10．（2022•西城区二模）如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与，重合），平面与棱交于点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：； 条件③：． 11．（2022•西城区一模）如图，四边形是矩形，平面，平面，，，点在棱上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）若点到平面的距离为，求线段的长． 12．（2022•丰台区二模）如图，在正三棱柱中，，为的中点，平面平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 13．（2022•昌平区二模）如图，在棱长为2的正方体中，点是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 14．（2022•门头沟区一模）如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点． （Ⅰ）在侧棱上作出点，满足平面，并给出证明； （Ⅱ）求二面角的余弦值及点到平面的距离． 15．（2022•通州区一模）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．为等边三角形，平面平面，为的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 16．（2022•海淀区校级一模）如图，在四棱锥中，平面平面．是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，． （Ⅰ）求证：面； （Ⅱ）求二面角的余弦值； （Ⅲ）请问棱上是否存在点到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 17．（2022•西城区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，是中点，为上一点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）当为何值时，二面角为； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 18．（2022•顺义区模拟）如图，在正方体中，为的中点． （Ⅰ）过点作出一条与平面平行的直线，并说明理由； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（2022•海淀区二模）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，点是的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求到平面的距离． 20．（2022•房山区二模）如图，在四棱锥中，底面．在底面中，，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若平面与平面的夹角等于，求点到平面的距离． 21．（2022•平谷区模拟）如图，矩形和梯形，，，平面平面，且，，过的平面交平面于． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当为中点时，求点到平面的距离； （Ⅲ）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． 22．（2022•房山区校级模拟）如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 23．（2022•朝阳区二模）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设在棱上，且，为的中点，求证：平面；并求直线与平面