第15讲 椭圆-【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第15讲 椭圆 【学习目标】 1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程及简单几何性质 3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． 4.了解椭圆的简单应用 【基础知识】 一、椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 二、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 【解读】 1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件． 2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍. 3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 4.用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置. (3)求出a,b,c. (4)写出椭圆的几何性质. 5.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系 在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系． 三、焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中： ①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； ②S＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 四、焦点弦(过焦点的弦) 焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝. 五、弦长公式 AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦(斜率为k)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则 弦长l＝＝|y1－y2| 六、求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，构造关于a，c的齐次式，再转化为关于e的方程或不等式，求椭圆离心率或取值范围 七、椭圆中的最值问题 1.椭圆中距离的最值问题的解法 ①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解 (适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e) 或利用均值不等式；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解． 2.椭圆中常见的最值问题 (1)椭圆上的点P到二焦点的距离之积取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 (2)椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 (3)椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 (4)椭圆上的点P到定点A的距离与它到椭圆的一个焦点F的距离的倍的和的最小值（为椭圆的离心率），可通过转化为（为P到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A到准线的垂线与椭圆的交点。 (5)以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。 (6)椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三