第五讲 勾股定理的应用-【暑假预习】2022-2023学年八年级数学上册基础知识考点15讲（北师大版）

第五讲 勾股定理的应用 目录 必备知识点 1 考点一 勾股定理的应用一--翻折问题 2 考点二 勾股定理的应用--路径最短 4 ( 知识导航 ) 必备知识点 【模型1】 蚂蚁沿立方体的表面爬行，从A点到B点的最短路径？ 【路径演示】 （1） AB=； （2） AB=； （3） AB=。 由此可见，ab、bc、ac谁小，则路径就最小。 【结论】 最短路径= 【模型2】 蚂蚁沿圆柱体的表面爬行，从A点到C点的最短路径？ 【路径演示】 由图可知蚂蚁爬行的最短路径AC= 考点一 勾股定理的应用一--翻折问题 1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为 　cm　． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝10， 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10， ∵AC＝8， ∴CE＝AE﹣AC＝2， 即CE的长为2， 设CD＝x，则BD＝6﹣x＝DE， 在Rt△CDE中，根据勾股定理得 CD2+CE2＝DE2，即x2+22＝（6﹣x）2， 解得x＝， 即CD长为cm． 故答案为：cm． 2．如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 　8　． 【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝BC＝6， 在Rt△NBD中，BN2+BD2＝DN2， x2+62＝（18﹣x）2， 解得：x＝8． 即BN＝8． 故答案为：8． 3．如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝　5　． 【解答】解：∵折叠， ∴△ADE≌△AD'E， ∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DEA＝∠EAB， ∴∠EAB＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1， 在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2， ∴AB2＝9+（AB﹣1）2， ∴AB＝5 故答案为：5 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为　　． 【解答】解：连接BF， ∵BC＝6，点E为BC的中点， ∴BE＝3， 又∵AB＝4， ∴AE＝＝5， ∴BH＝， 则BF＝， ∵FE＝BE＝EC， ∴∠BFC＝90°， 根据勾股定理得，CF＝＝＝． 故答案为：． 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求AC和EB′的长． 【解答】解：设EB′＝x， ∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝＝10， 由折叠的性质可知，BE＝EB′＝x，AB′＝AB＝6， 则CB′＝AC﹣AB′＝4，EC＝BC﹣BE＝8﹣x， 由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴EB′＝3． 6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD． （1）求证：OP＝OF； （2）求AP的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8． 由翻折的性质可知：EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEF中， ， ∴△ODP≌△OEF（ASA）． ∴OP＝OF． （2）∵△ODP≌△OEF（ASA）， ∴OP＝OF，PD＝EF． ∴DF＝EP． 设AP＝EP＝DF＝x，则PD＝EF＝6﹣x，CF＝8﹣x，BF＝8﹣（6﹣x）＝2+x， 在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，即62+（8﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8． 7．如图，将对角线BD长为16的正方形ABCD折叠，使点B落在DC边的中点Q处，点A落在P处，折痕为EF． （1）求线段AB和线段CF的长； （2）连接EQ，求EQ的长． 【解答】解：（1）∵对角线BD为16， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝＝16， 设CF＝x，由折叠可知QF＝BF＝16﹣x， 由于Q为CD中点， 则CQ＝＝8， 在直角三角形CFQ中，由勾股定理可得： （16﹣x）2＝82+x2，解得：x＝6． 故CF＝6． （2）如图所示，连接EQ，作EG⊥BC于点G，连接BQ交EF于点H， 由折叠可知AE＝PE，BQ⊥EF， ∴∠BFE+∠FBQ＝