第四讲 勾股定理-【暑假预习】2022-2023学年八年级数学上册基础知识考点15讲（北师大版）

第四讲 勾股定理 目录 必备知识点 1 考点一 勾股定理的证明 1 考点二 勾股定理的逆定理 2 考点三 勾股定理的基础应用 3 ( 知识导航 ) 必备知识点 1.勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 【注意】 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边 （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 【注意】 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系: 若c 2＝a 2+b 2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 ； 若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形； 若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。 考点一 勾股定理的证明 1．勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：由图可得， a2+b2＝c2＝25，故①正确； ∵小正方形面积为1， ∴小正方形的边长为1， ∴a﹣b＝1，故②正确； ∵大正方形面积为25，小正方形面积为1， ∴ab＝（25﹣1）÷4， 解得ab＝12，故③正确； ∵a2+b2＝25，ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49， ∴a+b＝7，故④正确； 故选：D． 2．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、大正方形的面积为：c2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理． B、梯形的面积为：＝； 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：＝， ∴＝， ∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理． C、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：＝2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理． D、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴D选项不能证明勾股定理． 故选：D． 3．如图，在四边形ABDE中，AB∥DE，AB⊥BD，点C是边BD上一点，BC＝DE＝a，CD＝AB＝b，AC＝CE＝c．下列结论：①△ABC≌△CDE；②∠ACE＝90°；③四边形ABDE的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解答】解：∵AB∥DE，AB⊥BD， ∴DE⊥BD， ∴∠B＝∠D＝90°． 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E． ∵∠A+∠ACB＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°． ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， 故①②正确； ∵AB∥DE，AB⊥BD， ∴四边形ABDE的面积是； 故③正确； ∵梯形ABDE的面积﹣直角三角形ACE的面积＝两个直角三角形的面积， ∴ab， ∴a2+b2＝c2． 故③④⑤都正确． 故选：A． 考点二 勾股定理的逆定理 4．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝2，b＝4，c＝2 C．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 D．（b+c）（b﹣c）＝a2 【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝∠C， ∴∠C＝90°，故选项A能判定△ABC是直角三角形； B、∵22+42＝（2）2， ∴选项A能判定△ABC是直角三角形； C、设∠A、∠B、∠C的度数分别为5x°、12x°、13x°， ∵5x°+12x°＝17x°， ∴∠C≠