第三讲 二次根式-【暑假预习】2022-2023学年八年级数学上册基础知识考点15讲（北师大版）

第三讲 二次根式 目录 必备知识点 1 考点一 二次根式有无意义 2 考点二 二次根式化简 2 考点三 二次根式的乘除法 4 考点四 二次根式的混合运算 5 ( 知识导航 ) 必备知识点 1.二次根式 一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数，“”称为二次根式。 【注意】 （1）在二次根式中，被开方数 a 可以是单项式、多项式、也可以是分式。 （2）a≥0是为二次根式的前提条件 （3）形如（n≥0）的式子也是二次根式 2. 二次根式的性质 （1）≥0（a≥0）双重非负性 （2） （3） 【注意】 与的区别与联系 （4）积的算数平方根的性质：（a≥0，b≥0） （5）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0） 3. 最简二次根式 （1）被开方数中不含字母．即根号内无分母，分母内无根号． （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．即开方开得尽． 我们把满足上述两个条件的二次根式叫做最简二次根式． 4. 同类二次根式 如果几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式． 【注意】 （1）前提条件：二次根式是最简二次根式． （2）被开方数相同． 5.二次根式混合运算 先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算 考点一 二次根式有无意义 1．x取何值时，下列各式在实数范围内有意义． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【解答】解：（1）∵x+2≥0，∴x≥﹣6时，有意义； （2）∵x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，又∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x取任意实数时都有意义； （3）∵x+1≥0，且x﹣2≠0，∴x≥﹣1且x≠2，即x≥﹣1且x≠2时有意义； （4）∵x+5≥0且3﹣x＞0，∴x≥﹣5且x＜3，∴﹣5≤x＜3时，有意义； （5）∵x2≥0，∴x2+2＞0时，即x取任意实数时都有意义． 2．x为何值时，下列各式有意义？ （1）；（2）；（3）+；（4）+． 【解答】解：（1）由题意得：3﹣5x≥0， 解得：x≤； （2）由题意得：x≥0，且2x﹣1≠0， 解得：x≥0且x≠； （3）由题意得：， 解得：x＝1； （4）由题意得：， 解得：2≤x＜5． 考点二 二次根式化简 3．化简： （1） （2） （3） （4）． 【解答】解：（1） ＝× ＝12×13 ＝156； （2）＝﹣×5＝﹣； （3）＝﹣×＝﹣4； （4）＝3|m|． 4．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝＝12×5＝60； （2）原式＝＝0.9x2|y|3； （3）原式＝＝＝2×5＝10； （4）原式＝＝＝＝3×2＝6． 5．化简． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（a≥0，b≥0） 【解答】解：（1）＝＝； （2）＝＝； （3）＝＝； （4）＝＝； （5）＝＝＝； （6）（a≥0，b≥0）＝＝||＝． 6．化简： （1）； （2）； （3）； （4）（x＞0，y＞0）； （5）； （6）（a＞0，b＞0，c＞0）； （7）（x＞2y，y＞0）； （8）（a＞2b＞0）． 【解答】解：（1）原式＝＝＝2； （2）原式＝＝； （3）原式＝＝； （4）∵x＞0，y＞0， ∴原式＝； （5）原式＝＝； （6）∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴原式＝； （7）∵x＞2y，y＞0， ∴原式＝ ＝； （8）∵a＞2b＞0， ∴原式＝ ＝• ＝﹣． 考点三 二次根式的乘除法 7．计算： （1）﹣•； （2）； （3）； （4）． 【解答】解：（1）原式＝﹣•＝﹣••＝﹣•4×6＝﹣24； （2）原式＝•＝•＝×6＝2； （3）原式＝2×（﹣）×＝﹣＝﹣4； （4）原式＝x＝10x． 8．计算： （1） （2） （3） （4）2÷×． 【解答】解：（1）原式＝＝＝； （2）原式＝＝＝|x|； （3）原式＝＝＝； （4）原式＝4÷×＝×＝． 9．计算： 【解答】解：由原式可判断x＞0，y＞0， ∴原式＝ ＝ ＝． 10．计算； （1） （2）． 【解答】解：（1）原式＝ ＝3； （2）原式＝ ＝ ＝． 11．计算题： （1）9÷3×； （2）•b÷． 【解答】解：（1）原式＝9××× ＝18； （2）原式＝a2•b• ＝． 考点四 二次根式的混合运算 12．计算下列各题： （1）﹣5+； （2）﹣3； （3）； （4）（1﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2020﹣×． 【解答】解：（1）原式＝2﹣+ ＝2； （2）原式＝+﹣3 ＝+2﹣3 ＝0； （3）原式＝5﹣6 ＝﹣1； （4）原式＝1+﹣2+1