1.1.1 空间向量及其线性运算-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算 【考点梳理】 考点一　空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 考点二　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 考点三　共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 考点四　共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【题型归纳】 题型一：空间向量的概念 1．下列说法正确的是（       ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（       ）． A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（       ） A．任一空间向量与它的相反向量都不相等 B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量 D．不相等的两个空间向量的模可能相等 题型二：空间向量的线性运算（加减法） 4．如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（          ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（       ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（       ） A． B． C． D． 题型三：空间两个向量共线的问题 7．向量，，若，则的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（       ） A． B． C． D． 9．已知非零向量，则“”是“”的（       ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非必要非充分条件 题型四：空间共面向量定理 10．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是 A． B． C． D． 11．已知，，，若，，共面，则λ等于（       ）． A． B．3 C． D．9 12．已知为空间中任意一点，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【双基达标】 一、单选题 13．下列说法正确的是（       ） A．零向量没有方向 B．空间向量不可以平行移动 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 14．下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（       ） A． B． C． D． 15．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 16．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（