专题8 一元二次函数及实际应用-【中职数学】备战中职高考一轮专题复习（全国适用）

专题8 一元二次函数及函数实际应用 ( 任务驱动 ) 1.掌握一元二次函数的图像和性质会用待定系数法求一元求一次函数和二次函数的函数解析式， 2.理解分段函数的概念及应用，能解答简单的分段函数实例 ( 要点点击 ) 1.一元一次函数的表达式： 2.二次函数的表达式 （1）一般式:+bx+c (a) （2）顶点式：+n (a,点（m,n）为二次函数的顶点 （3）两根式： (a ,且y=0时方程的两个根存在) 3.二次函数+bx+c (a)的图像和性质 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 单调性 在(为减函数；在为增函数 4.解函数应用题的步骤： （1）读题-了解问题背景，寻找实际问题与函数知识的结合点； （2）审题-分析题中的数量关系，建立函数关系式； （3）建立数学模型； （4）求解数学模型； （5）检验：回到实际问题. ( 常考题型 ) 题型一：二次函数的图像性质 例1．二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（       ） A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2 分析：∵y=-x2+4x+7 =-（x-2）2+11， ∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2． 故选：A． 例2．函数的单调递减区间是（       ） A． B． C． D． 分析：函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线， 故函数的单调递减区间是. 故选：C． 例3．已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（       ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 分析:对称轴为，开口向上，要想在区间（-∞，1]是减函数，所以. 故选：A 题型二：二次函数的最值 例4．函数，的最小值和最大值分别为（       ） A．0，3 B．－3，0 C．－3，1 D．0，1 分析：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，函数取得最大值， 当时，，当时，， 所以该函数的最小值为. 故选：C. 例5．已知函数f (x)，，则函数的值域是（       ） A． B． C． D． 分析：,对称轴,当,又因为, 所以函数的值域为. 故选:D 题型三：分段函数 例6．已知=. （1）若=4，且a>0，求实数a的值； （2）求的值. （1）由=4且a>0， 解：∴当，有； 当，有，（舍去）， 综上，有或； （2）由分段函数的解析式知： . 题型四：二次函数的应用 例7．“童心迎六一，欢乐共成长”，某超市计划在儿童节期间进行一款文具的促销活动．该文具进价为5元/件，售价为9元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每下降0.5元，当天的销售量就增加5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数下降），当天销售利润为元． (1)求与的函数关系式； (2)要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每件文具的利润不超过60%，要想当天获得最大利润，每件文具的售价应为多少元？并求出最大利润． (1) 解：由题意y＝(x−5)[100−×5]=-10x2+240x-950， 所以y与x的函数关系式为：y=-10x2+240x-950； (2) 解：要使当天利润不低于240元，则y≥240． ∴y=-10x2+240x-950=-10（x-12）2+490=240 解得，x1=7，x2=17， ∵-10＜0，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为7≤x≤17； (3) 解：∵每件文具利润不超过60%， ∴x-5≤5×0.6，得5<x≤8， ∴文具的销售单价为5<x≤8 由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-102）2+490， ∵对称轴为x=12， ∴6≤x≤8在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大， ∴当x=8时，取得最大值，此时y=-10（x-12）2+490=330， 即每件文具售价为8元时，最大利润为330元． 例8．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围