专题1.6 勾股定理的应用（知识讲解）-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.6 勾股定理的应用（知识讲解） 【学习目标】 （1）利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。 （2）通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念． 【要点梳理】 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，从而达到把三角形边的问题转化为角的问题，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 【典型例题】 类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题 1．一个25米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时的距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B外移多少米？ 【答案】8米． 【分析】梯子下滑4米，梯子的长度不变始终为25米，利用勾股定理分别求出OB、OB＇的长度，进而求出BB＇的长度即可． 解：如图，依题意可知 AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°， ∴ BO2＝AB2﹣AO2＝252-242， ∴ BO＝7(米)， 移动后，＝20(米)， ∴ (米)， ∴ (米)． 答：梯子底端B外移8米． 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键． 举一反三： 【变式】一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）12米；（2）7米 【分析】 （1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解； （2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解． 解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米， 在Rt，由勾股定理得： AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144， 解得AO=12米， 答：这个梯子的顶端距地面有12米高； （2）由题意得，AC=7米， 由（1）得AO=12米， ∴CO=AO-AC=12-7=5米， 在Rt，由勾股定理得： OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144， 解得OD=12米 ∴BD=OD-OB=12-5=7米， 答：梯子的底端在水平方向滑动了7米． 【点拨】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．