1.4.2 充要条件（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

1.4.2 充要条件 【学习目标】 课程标准 学科素养 1.理解充要条件的意义.（重点） 2.会判断一些简单的充要条件问题.（重点） 3.能对充要条件进行证明.（难点） 1、数学抽象 2、逻辑推理 【自主学习】 一．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. 2． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为 条件. 思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？ 解读：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 三．“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有 ，即p是s的充要条件． 【小试牛刀】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．(　　) (2)符号“⇔”具有传递性．(　　) (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) (4)数学中的每一个定义都是一个充要条件．(　　) 2．“ab＝0”是“a＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【经典例题】 题型一 充要条件的判断 点拨：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 1.定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. 2.集合法：情形如下：记命题p：集合A，命题q：集合B. ①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件． ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件． ③若A＝B，则p，q互为充要条件． 3.传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 例1 下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； （2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； （3）p：xy>0，q：x>0，y>0； （4）p：，q：． 【跟踪训练】1已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问： (1)p是r的什么条件？ (2)s是q的什么条件？ (3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？ 题型二 充要条件的证明 点拨：充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 例2 已知ab≠0，求证：a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件. (提示：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)) 【跟踪训练】2 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 题型三 充要条件的应用 点拨：应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解. 例3　设A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． 【跟踪训练】3 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件． 【当堂达标】 1．设，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：AB，则p是q的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 4.函数y＝x2－2x－a的图象与x轴无交点的充要条件是________． 5.已知x