1.2 子集、全集、补集-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第一册）

1.2 子集、全集、补集 【知识点梳理】 知识点一 子集 1．一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集．，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）． 2．规定：空集是任何集合的子集，即． 3．子集的性质： （1）任何一个子集都是它本身的子集，即． （2）若，且，则． 知识点二 韦恩图 韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示： B A 知识点三 真子集 1．如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）． 2．真子集的性质 （1）空集是任何非空集合的子集． （2）若A B，B C，则A C． 知识点四 集合的相等与子集的关系 1．如果A⊆B且B⊆A，则A=B． 2．如果A=B，则A⊆B且B⊆A． 知识点五 有限集合的子集个数 若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2． 知识点六 补集 1．全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示． 2．如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作． 3．数学表达式：． 4．用Venn图表示（阴影部分）如图所示： U A 5．给定全集的子集及其任意一个子集A，则 ①； ②； ③． 【题型归纳目录】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 题型二：韦恩图及其应用 题型三：由集合间的关系求参数的范围 题型四：集合间的基本关系 题型五：判断两集合是否相等 题型六：根据两集合相等求参数 题型七：空集的性质 题型八：补集及其运算 【典型例题】 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 例1．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合，则集合M的真子集个数为（       ） A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】D 【解析】 【分析】 求出集合中的元素，再由子集的定义求解． 【详解】 由题意， 因此其真子集个数为． 故选：D． 例2．（2022·全国·高一专题练习）设集合，且，则满足条件的集合的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果． 【详解】 因为，由题意可知，集合为的子集， 则满足条件的集合的个数为． 故选：B． 例3．（多选题）（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）设，则（       ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可． 【详解】 依题意集合B的元素为集合A的子集， 所以 所以，， 所以AD错误，BC正确． 故选：BC 例4．（2022·安徽·高一期中）设集合，则集合的子集个数为________ 【答案】16 【解析】 【分析】 先化简集合A，再利用子集的定义求解． 【详解】 解：， 故A的子集个数为， 故答案为：16 例5．（2022·江苏·高一单元测试）满足{1，2，3}的所有集合A是___________． 【答案】{1}或{1，2}或{1，3} 【解析】 【分析】 由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 【详解】 因为{1，2，3}， 所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集， 所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}， 故答案为：{1}或{1，2}或{1，3} 例6．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，且． （1）求实数的值； （2）写出集合A的所有子集． 【答案】（1）1 （2），，，，，，， 【解析】 【分析】 （1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集． （1） ∵， 当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去 当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上： （2） 由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，， 例7．（2022·全国·高一专题练习）设是由6的全体正约数组成的集合，写出的所有子集． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】 首先写出的正约数，即可得到集合，再用列举法列出的所有子集； 【详解】 解：因为的正约数有、、、，所以，所以的子集有：、、、、、、、、、、、、、、、共16个； 【技巧总结】（分类讨论是写出所有子集的