第一章第三节 函数的单调性与最值-高中数学思维馆(上)——学霸提分笔记(高中全学段通用)

学习心得 第三节 函数的单调性与最值 考向O 函数单调性的判断 判断函数单调性的常见方法有：1.定义法；2.图象法；3.复合函数法（同增异减）；4.性质法；5.导 数法. ①定义法 例1少 已知>0，函数f(x)=x十(x>0),试判断函数的单调性. 解析 在区间(0，十∞)上任取两个变量x12,且x<2 则f,)-fx)=+-(x,+） =-+》 =(m2-x)+b-2) E1T2 =1-) ①r)=x+(>0)的国米 =(x2-x)2一k 如图所示，熟记图象，利于做 T1T2 题. 若x2>x1>E, ②当x→∞ 则2x1>0,01x2>0,x1x2>x>(E)2=k, 时，→0， x1x2一k>0, y=x+ k x 无 (2-x)4-k0, xIx2 限接近y=x, f(x2)-f(1)>0,即f(x1)f(2). 即说明直线y=x为函数y f(x)=x十在(，十0○)上为增函数 十飞的图象的一条渐近线。 同理，f(x)=x十在(0，wWE)上为减函裁 方法技巧 1.定义法判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差，变形；(3)判断：(4)结论 2.定义法判断函数单调性的等价形式：设任意x,x2∈(a,b)且≠x2,则 (1)f(x)在(a,b)上为增函数(-)[f(x)-f2)]>0=f）-f)0: x1一C2 (2)f(x)在(a,b)上为减函装(-)[f()-f)]<0=f）二f）<0. 1-x2 3.若函数有两个或两个以上的单调增（减）区间，中间一定要用逗号（或用“和”字）隔开，千 万不要用“或”字和“U”特号.如：y=x十(>0)的成区间为（一，0），(0). 变式 1.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a十b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时，f(x)>1,则 函数f(x)在R上是() A.增函数 B.减函数 C.常函数 D.不能确定函数的单调性 高中悬净字霸提分笔记>14 解析在R上任取x1x2,且x1<x2,则 2☒ (等习心得 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1. :f(a+b)=f(a)十 T2x1, f(b)-1, x2-x1>0. .f(a+b)-f(a)= f(b)一1.（移项，作差） f(x2-x1)>1, 设a+b=x2,a=x1, 即f(x2-x1)-1>0. 则b=x2一x1.（换元，判断 f(x2)-f(x1)>0 即可) 即f(x1)<f(x2). :f(x2)-f(x1)=f(x2 函数f(x)在R上为增函裁.故选A x1)-1. ②图象法 0 1,x>0, 例2 设函数f(x)= 0,x=0,g(x)=x2f(x一1)，则函数g(x)的单调递减区间是 -1,x0, 解析 当x-1>0,即x>1时，f(x-1)=1. g(x)=x2f(x-1)=x2. 当x-1=0,即x=1时，f(x-1)=0. g(x)=0. 当x-1<0,即x<1时，f(x-1)=-1. g(x)=x2f(x-1)=-x2. x2,x>1, 综上，g(x)=0,x=1,其图象如图. x2,x<<1. 函数g(x)的单调递减区间是[0,1).故答案为[0,1) ®方法技巧 若能通过分类讨论或图象变换等，顺利画出函数的图象，则可得到函数的单调区间 变式 x2-4x+3,x0, 2.已知函数f(x)= -x2-2x十3，x>0, 不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成 立，则实数a的取值范围是 解析 函戴的图象如图所示，f(x)在R上单调递减 由f(.x十a)>f(2a-x),得x+a<2u-x,即2.xa. 2x<a在[a,a十1]上恒成立，.2(a+1)<a. 解得a<-2.实裁a的取值范围是（一∞，一2）.故答案为（一o,一2）. 3复合函数法 例3判断函数y=log(x2一2x一3)的单调性. 解析 易知函数的定义域为（一∞，一I)U(3,十∞）.←注意定义域（特别是对数函裁）. 设u=x2一2x一3，则y=l0g.←-拆分. u=x2一2x一3在（一∞，一1）上为藏函数，y=l0gu为增函裁， y=l0g(x2一2x一3)在（一∞，一1）上为藏函数.←-复合（同增异减）. 同理，y=l0g3(x2-2.x-3)在(3，十∞)上为增函裁. 15《函数、导数及其应用第○量 学习心得。 方法技巧 复合函数单调性的判断方法是"同增异藏”.如：函数y=f(g(x),可拆分为y=f(u),u g(x).若y=f(u)与u=g(x)的单调性相同，则复合函数y=f(g(x)单调递增；若y=f(u)与 u=g(x)的单调性相异，则复合函数y=f(g(x)单调递减 变式 3.已知函数f(x)=22m(m为常数).若f(x)在[2，十∞)上单调递增，则n的取值范围 是 解析 令t=