第18讲 y=Asin(ωx+φ)-【暑假自学课】2022年新高一数学暑假精品课（人教版2019必修第一册）

第18讲 y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换 【学习目标】 了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响 【基础知识】 一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径 由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移 三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质 【考点剖析】 考点一：左右平移变换 例1．（2021-2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中）将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则（       ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】由题得，所以． 故选B 考点二：沿x轴方向的伸缩变换 例2．（2021-2022学年浙江省温州市高一上学期期期末）已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得， 再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，故选A 考点三：沿y轴方向的伸缩变换 例3． （2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量）将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（       ） A．函数的最小正周期为 B．函数的单调递减区间为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数图象的一个对称中心为点 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得， 再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数， 则的最小正周期，故A正确， 由，得，， 即函数的单调递减区间为，故B正确， 是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.故选D． 考点四： y=Asin(ωx＋φ)的性质 例4．（2021-2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末）设函数，则下列结论不正确的是（       ） A．函数的值域是； B．点是函数的图像的一个对称中心； C．直线是函数的图像的一条对称轴； D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数． 【答案】B 【解析】因为，， 所以，即函数的值域是，故A正确； 因为，所以函数关于对称，故B错误； 因为，所以函数关于直线对称，故C正确； 将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确； 故选B 考点五：三角变换与三角函数性质的交汇 例5. （2021-2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末）已知函数，则下列说法正确的有________. ①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 ②在上单调递增 ③在内有2个零点 ④在上的最大值为 【答案】②③ 【解析】由函数， 对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到，所以①不正确； 对于②中，令，解得， 当时，可得，即函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以②正确； 对于③中，令，可得，解得， 当时，可得；当时，可得， 所以在内有2个零点，所以③正确； 对于④中，由，可得， 当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确. 故答案为②③. 考点六：由图象确定函数解析式 例6．（2021-2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测）函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可知；设周期为，则，所以； 又，所以. 由，，令，得. 所以； 因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象， 所以.故选C. 【真题演练】 1．（2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期中）要得到函数的图像，只需将的图像（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2. (2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小 正周期为 (　　) (　　) A． B． C． D． 3.（2021-2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试）关于函数有如下四个命题： 甲：该函数在上单调递减； 乙：该函