第08讲 空间向量及其运算的坐标表示 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第08讲 空间向量及其坐标运算的表示 【学习目标】 1.握空间向量的坐标表示 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示 【基础知识】 一、空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度   建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴    .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分. 二、空间点的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使 =xi+yj+zk  .在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标. 三、空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z)    . 四、空间向量常用结论的坐标表示 设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0,λ∈R) a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0,b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0) cos〈a,b〉＝ 五、 证明两直线平行的步骤: 1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标; 2.求出直线的方向向量; 3.证明两向量共线; 4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤: 1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标; 2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标; 3.计算两直线方向向量的数量积为0; 4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤 1.求异面直线a,b上的方向向量的坐标:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2); 2.利用公式cos<a,b>= 求解; 3.设异面直线a,b所成的角为θ,则cos θ=|cos<a,b>|. 【考点剖析】 考点一：求点的坐标 例1．（2021-2022学年四川省成都市嘉祥教育集团高二下学期期中）已知空间点，则点P关于y轴对称的点的坐标为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，点关于y轴对称的点的坐标为.故选D 考点二：求向量的坐标 例2．给定空间三个点､､. (1)求以向量､为一组邻边的平行四边形的面积S； (2)求与向量､都垂直的单位向量. 【解析】 (1)由题设，，， 则，故， 所以. (2)设单位向量且， 由题意得：，可得：，则，可得， 所以或. 考点三：线性运算的坐标表示 例3．（2021-2022学年广东省江门市新会区陈经纶中学高二上学期期中）已知向量，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，则，故选C 考点四：数量积运算的坐标表示 例4．（多选）（2021-2022学年江苏省盐城市滨海县高二下学期月考）已知空间向量，，则下列正确的是（       ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【解析】向量，，，则A正确， ，则B正确，，则C错误， ，则D错误.故选AB 考点五：求长度或距离 例5．空间两点、之间的距离为______． 【答案】3 【解析】因点、，则. 考点六：求角度 例6．（2021-2022学年四川省成都市蓉城高中教育联盟高二下学期期中）已知，，则向量与的夹角为（       ） A．90° B．60° C．30° D．0° 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 设向量与的夹角为，则 ， 因为，所以，故向量与的夹角为， 故选A. 考点七：根据平行或垂直求参数的值 例7. （2021-2022学年江苏省盐城市滨海县五汛中学高二下学期期中）已知点，，，设，． (1)求，夹角的余弦值． (2)若向量，垂直，求的值． (3)若向量，平行，求的值． 【解析】 (