第09讲 空间向量的应用 -【暑假自学课】2022年新高二数学暑假精品课（人教版2019必修第二册+选择性必修第一册）

第09讲 空间向量的应用 【学习目标】 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量 2.能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角以及垂直与平行关系 3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理 4.能用向量方法解决点到直线，点到平面，相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 【基础知识】 一、空间中点、直线和平面的向量表示 1.点的位置向量 在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量. 2.空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条 件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即.进一步地,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使③ ta(i),将=a代入(i)式,得(ii).(i)式和(ii)式都称为空间直线的向量表示式. 3.空间平面的向量表示式 取定空间中的任意一点O,可以得到点P在平面ABC内的充要条件是存在实数使得，该式称为空间平面的向量表示式。 二、平面的法向量求法 设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为 三、用向量证明空间中的平行关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. 2.设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x,y,使v＝xv1＋yv2. 3.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. 4.设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔u1∥u2. 【解读】用向量证明直线与平面平行,可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行,也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,当然,直线要在平面外．用向量证明直线和平面垂直,可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直,也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行． 四、用向量证明空间中的垂直关系 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. 2.设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔v∥u. 3.设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 【解读】利用空间向量证明面面垂直的基本方法：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理,只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 五、两条异面直线所成角的求法 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0,π] 求法 cosθ＝ cosβ＝ 【解答】要求异面直线AG与CE所成角的余弦值,可利用向量的数量积,求出·及||和||的值,再套用公式cos〈,〉＝求得与所成角的余弦值,但上述结果并不一定是异面直线所成的角,由于异面直线所成角的取值范围为,所以,若求得的余弦值为负值,则取其绝对值． 六、直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ＝|cosβ|＝. 【解读】利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种方法： ①通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角； ②分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)． 注意：直线与平面所成角的取值范围是. 七、求二面角的大小 1.如图①,AB,CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ＝〈,〉． 2.如图②③,n1,n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 八、利用空间向量求点到平面的距离 如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为||＝. 【考点剖析】 考点一：求平面的法向量 例1．（多选）（2021-2022学年山东省济宁市兖州区高二上学期期中）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（       ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【解析】由题意，