1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（自主学习双减增效）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2022年高一升高二数学暑假进阶学习方案（人教A版2019）

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 （自主预习） 目录 第一部分：思维导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：平面的法向量及其求法 题型二：考用空间向量证明平行关系 角度1利用向量方法证明线线平行 角度2利用向量方法证明线面平行 角度3利用向量方法证明面面平行 题型三：用空间向量证明垂直关系 角度1利用向量方法证明线线垂直 角度2利用向量方法证明线面垂直 角度3利用向量方法证明面面垂直 第四部分：自主预习成果检测 第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局 课标要求： 1.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.(数学抽象) 2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.(数学抽象) 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理.(逻辑推理) 4.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系.(逻辑推理) 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 1.直线的方向向量 空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．如图．点是直线上一点．向量表示直线的方向(方向向量)．在直线上取，那么对于直线上任意一点，一定存在实数，使得．这样，点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出上的任意一点. 拓展 线段中点的向量表达式 在中，当时，我们就可以得到线段中点的向量表达式．设点是线段的中点，则，这就是线段中点的向量表达式． 2.空间中平面的法向量 平面的法向量 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 拓展 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 3.用向量方法判定空间中的平行关系 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 4.空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：平面的法向量及其求法 1．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（       ） A． B． C． D． 2．过空间三点，，的平面的一个法向量是（       ） A． B． C． D． 3．已知直线过点，平行于向量，平面经过直线和点，则平面的一个法向量的坐标为（       ） A． B． C． D． 4．已知，，.求平面的一个法向量； 5．如图在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面的法向量； (2)求平面的法向量． 6．已知，，． (1)写出直线BC的一个方向向量； (2)写出平面ABC的一个法向量． 题型二：考用空间向量证明平行关系 角度1利用向量方法证明线线平行 1．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（       ） A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交 D．垂直且相交 2．在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（        ） A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 3．在正方体中，已知分别是，的中点，求证： (1)； 4．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点.求证：MN∥RS. 6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形. 角度2利用向量方法证明线面平行 1．已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是（       ） A．垂直 B．平行 C．相交 D．平行或直线在平面内 2．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（       ）． A．斜交 B．平行 C．垂直 D．不能确定 3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面的位置关系是（       ） A． B． C． D．或 4．已知是平面的一个法向量，是直线的一个方向向量，若，，则与的位置关系是_