1.2 空间向量基本定理（自主学习双减增效）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2022年高一升高二数学暑假进阶学习方案（人教A版2019）

1.2空间向量基本定理（自主预习） 目录 第一部分：脉络导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：基底的判断 题型二：用基底表示空间向量 题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系 题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角 第四部分：自主预习成果检测 第一部分：脉 络 导 图 总 览 全 局 课标要求： 1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象) 2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象) 3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理) 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 1.空间向量基本定理 1.1．定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 1.2．基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 2.单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 3．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：基底的判断 1．设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是　　 A． B． C． D．或 2．已知是空间的一个基底，若，则下列可以为空间一个基底的是（       ） A． B． C． D． 3．已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（       ） A． B． C． D． 4．已知是空间的一个基底，若，则（       ） A．是空间的一组基底 B．是空间的一组基底 C．是空间的一组基底 D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底 5．已知､､是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二：用基底表示空间向量 1．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 2．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（       ） A． B． C． D． 3．（2022·河南郑州·高二期末（理））已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（       ） A． B． C． D． 4．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（       ） A． B． C． D． 5．（2022·广西·容县高级中学高二开学考试（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（       ） A． B． C． D． 题型三：应用空间向量基本定理证明线线位置关系 1．如图所示，在三棱锥中，两两垂直，且，E为的中点． （1）证明：； （2）求直线与所成角的余弦值． 2．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：． 3．在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求证: 4．如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且． （1）求证：； （2）求EF与CG所成角的余弦值． 题型四：应用空间向量基本定理求距离、夹角 1．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AM的长为3，且，N是CM的中点，设，，，用、、表示向量，并求BN的长． 2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，，两两夹角为60°，长度分别为2，3，1，点在线段上，且，记