1.1.2 空间向量的数量积运算（自主学习双减增效）-【完美假期—查缺补漏+自主预习】2022年高一升高二数学暑假进阶学习方案（人教A版2019）

1.1.2空间向量的数量积运算（自主预习） 目录 第一部分：脉络导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：数量积的计算 题型二：用数量积证明垂直问题 题型三：用数量积求角度 题型四：用数量积求长度 题型五：利用向量的数量积求两异面直线所成角 第四部分：自主预习成果检测 第一部分：脉络 导 图 总 览 全 局 课标要求： 1.理解空间两个向量夹角的定义.(直观想象) 2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.(数学运算) 3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.(数学运算) 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 1、 空间向量的夹角 1.1．概念 如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记. 1.2．范围 ． 1.3．特别地，如果，那么向量互相垂直，记作． 对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点： (1)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 1.4拓展 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 2.空间向量的数量积 2.1定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作 即． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 2.2性质 ① ②若与同向，则；若与反向，则．特别地，． ③. 2.3运算律 ①，. ②(交换律)． ③(分配律). 2.4对空间向量数量积的理解 (1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; (2)若(),则不能得出或,即空间向量不能进行除法运算. 2.5.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; (3)利用关系(,为非零向量)可以证明空间两直线的垂直. 3 向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 第三部分：典 型 例 题 剖 析 题型一：数量积的计算 1．（2022·全国·高二课时练习）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（       ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高二课时练习）已知四面体的所有棱长都是2，点是的中点，则（       ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高二）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点，分别是，的中点，则的值为_________. 4．（2022·全国·高二单元测试）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，若点E、F分别是AB、AD的中点，则______． 5．（2022·全国·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 6．（2022·湖南·高二课时练习）已知空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，求下列数量积： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型二： 　用数量积证明垂直问题 1．（2022·全国·高二课时练习）已知四棱锥的底面是平行四边形，且底面，如果，求证四边形是矩形． 2．（2022·全国·高二课时练习）已知平行六面体的各棱长均为1，且． (1)求证：； 3．（2022·全国·高二课时练习）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为． （1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； 4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明： （1）； 题型三：用数量积求角度 1．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方体，设，，，则（       ）. A． B． C． D． 2．（2022·湖北·荆门市龙泉中学高二期中）在平行六面体中，，，，，则（       ） A． B． C．0 D． 3．（2022·全国·高二课时练习）已知两个异面直线的方向向量分别为，，且||＝||＝1，•，则两