第05讲 正弦定理和余弦定理-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期期中期末复习考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)

第5讲 正弦定理和余弦定理 知识点1 正弦定理 正弦定理内容及公式：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 在任意△ABC中，都有＝＝=2R(R为△ABC外接圆的半径) （1）化边为角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径). （2）化角为边sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径). （3）三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. （4）＝＝＝. （5）asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csinB. （6）在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B 知识点2 正弦定理之齐次式结构 结构特点：每一项中都有边或sin角且次数一致，即可实现边和对应sin角的互化 结构示例： （1）整式齐次式： ①边的齐次式 ②sin角的齐次式 （2）分式齐次式： 注：在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次，利用正弦定理可以实现边、内角的正弦转化。如果在等式(不等式)或分式中出现边或内角的正弦同次且为一次(求角)时，一般情况要化为角的正弦，如出现二次，一般情况要化为边，再利用余弦定理。 知识点3 余弦定理 余弦定理： 变形： 知识点4 三角形面积公式 (1)S＝aha＝bhb＝chc； (2)S＝absin C ＝bcsin A＝casin B. (3)海伦公式：其中 (4)，其中，为的内切圆半径 (5)其中 解题技巧： 1、化简后的式子同时含有三个角时，解题思路是减少角的个数，方法主要有以下两种 ①合角 如： ②拆角——拆单角（“单身狗角”） 如： 注：（1） ，， （2）， （3）中 ① ②（舍去） ① ② ，则或 （4） 射影定理 考点一 齐次式 （一）齐1次式 1、设的内角，，的对边分别为，，，且 (1)求角的大小； (2)若，求的最大值． 【解析】(1)∵，由正弦定理可得 又，，∴，∵，∴. (2)∵，∴， ∴，当且仅当时取等号，∴的最大值为2. 2、设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)设D是AB边上靠近A的三等分点，，求的面积． 【解析】(1)在中，由得：，由正弦定理得， 而，即，则，又, 所以. (2)依题意，，在中，由余弦定理得：， 即，解得， 所以的面积. 3、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的周长为9，，边上的高．（备注对任意角，） (1)求的值； (2)若，求b的值． 【解析】(1)由题意得，， 两式相减，得，即． 所以． (2)因为，所以，则C为锐角，． 由，得， 由（1）可得，即， 所以，得． （二）齐2次式 4、设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角C； (2)若，求的取值范围. 【解析】(1)由正弦定理及， 所以. 所以由余弦定理得， 又，所以. (2)因为，，由余弦定理可得， 可得，所以，， 可得，当且仅当时取等号， 又由三角形三边关系得， 所以的取值范围是. 5、在中，内角的对边分别为，且． (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【解析】(1)因为，所以由正弦定理得，整理得，由余弦定理得．因为，所以． (2)由正弦定理得． 因为为锐角三角形，所以 解得，所以， 所以， 故的取值范围为． 6、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求C； (2)若a，b为方程的两个实数根，且C的角平分线交AB于点D，求CD． 【解析】(1)依题意，，即， 在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：， 因，解得， 所以． (2)依题意，，，而是的角平分线，则， 即，整理得，解得， 所以． 7、已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)求角A； (2)若是的中线，且，求的最大值. 【解析】(1)由及二倍角的余弦公式，得， 即，于是有，及正弦定理，得， 由余弦定理，得， . (2)因为是的中线，所以，两边平方，得 ,由（1）知，，， 所以， 所以 即，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. （三）非齐次式 8、在锐角中，角所对的边分别为，已知， (1)求角A的大小； (2)求的面积. 【解析】(1)由正弦定理，又，所以，所以， 又，所以，即， 又，所以； (2)由（1）可得，又，所以， 所以 ， 所以； （4） 分式齐次式 9、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)已知，求的面积． 【解析】(1)， 由正弦定理可得，，即， 化简可得，，又． (2)在中，由余弦定理可得，， ， ． 10、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)若，，求a，