专题06 直线和圆的位置关系（知识点大串讲）-【中职专用】高一下学期数学期末复习大串讲（高教版2021·基础模块下册）

专题06 直线和圆的位置关系 知识结构 要点梳理 知识点一 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __2__个 __1__个 __0__个 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为 d＝____ __d<r__ __d＝r__ __d>r__ 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ __Δ>0__ __Δ＝0__ __Δ<0__ 知识点二 解决实际问题的一般程序 仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案． 题型探究 题型一 直线与圆的位置关系 例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆 (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？ [分析]　可联立方程组，由方程组解的个数判断，也可求出圆心到直线的距离，通过与半径比较大小判断． [解析]　方法1：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程，化简、整理，得(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法2：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝. 当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点， 当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【归纳提升】　直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择． 【变式】直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　B　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交且直线过圆心 D．相离 【解析】　∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝，则0<<1，∴直线与圆相交但直线不过圆心． 题型二　直线与圆相切 例2　过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程． [分析]　利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率，进而求出切线方程． [解析]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外． (1)若所求切线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)． 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径为1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即15x＋8y－36＝0. (2)若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x＝4距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 【归纳提升】求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解： 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，此时的切线有两条，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可通过数形结合求出． 【变式】过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　B　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 [解析]　(1)x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)， kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0. 题型三　直线与圆相交 例3　已知直线l：x－y－1＝0，若圆C的圆心为点(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程． [解析]　(1)由已知得解得 ∴两直线交点为(2,1)． 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1， ∵直线l过点(2,1)， ∴直线l的方程为y－1＝x－2，即x－y－1＝0. (2)设圆的半径为r，依题意，得 圆心(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝， 则由垂径定理得r2＝()2＋()2＝4， ∴r＝2， ∴圆的标准方程为(x－